Funcții bijective

Pasul 1 din 11

Un cifru care se poate descifra

Vrei să-i trimiți un mesaj secret unui prieten. Înlocuiești fiecare literă cu litera aflată 3 locuri mai departe în alfabet, iar la capăt o iei de la început.

Ca să încapă în desen, luăm un alfabet de doar 5 litere: A, B, C, D, E.

$\text{A} \to \text{D}$ , $\text{B} \to \text{E}$ , iar apoi se reia de la început: $\text{C} \to \text{A}$ .

Uită-te la săgețile care ajung în coloana „cod”: în fiecare cod ajunge exact o săgeată. Niciun cod nu e folosit de două ori și niciunul nu rămâne nefolosit.

De aceea prietenul tău poate descifra mesajul: merge pe săgeată invers, de la cod la literă, și găsește mereu o singură literă.

Cu alfabetul întreg, de 26 de litere, regula e aceeași: fiecare literă se mută 3 locuri mai departe, iar la capăt se reia de la A (de exemplu, Z → C).

Verifică-te

Cu alfabetul întreg de 26 de litere, prietenul tău primește codul B. Ce literă ai scris?

Când descifrarea nu merge

Doi colegi propun alte cifruri, cu litere transformate în cifre. Primul:

Codul $3$ nu vine din nicio literă.

Litere diferite primesc coduri diferite:

g

e injectivă. Dar codul

3

nu e folosit, deci

g

nu e surjectivă. Un mesaj care conține 3 nu înseamnă nimic. Al doilea cifru:

A și C primesc același cod, $1$ .

Fiecare cod e folosit:

k

e surjectivă. Dar A și C primesc amândouă codul

1

, deci

k

nu e injectivă. Cine primește

1

nu știe dacă ai scris A sau C.

Exact o săgeată în fiecare element

Cele trei cifruri se deosebesc printr-un singur lucru: câte săgeți ajung în fiecare element din codomeniu.

În fiecare element din $B$ ajung…	Funcția e…
cel mult o săgeată	injectivă (ca $g$ )
cel puțin o săgeată	surjectivă (ca $k$ )
exact o săgeată	bijectivă (ca $f$ )

O săgeată de la

x

y

înseamnă

f(x) = y

. Deci „în

y

ajunge exact o săgeată” spune: ecuația $f(x) = y$ are exact o soluție $x$ în domeniu.

\begin{aligned} &f \text{ bijectivă} \iff \\ &\text{pentru orice } y \in B, \\ &\text{ecuația } f(x) = y \text{ are} \\ &\text{o soluție unică } x \in A \end{aligned}

Așa verifici o bijecție dintr-o singură mișcare: rezolvi ecuația

f(x) = y

pentru un

y

oarecare din codomeniu.

Verifică-te

Ce fel de funcție este

h\colon A \to B

din desen?

Rezolvăm ecuația $f(x) = y$

Manualul ia funcția

f\colon \mathbb R \to \mathbb R

f(x) = 2x + 3

. Pe

\mathbb R

nu mai putem desena săgețile, dar putem întreba: pentru un

y

dat, din ce

x

vine? Încercăm câteva valori:

$y$	soluția lui $2x + 3 = y$
$7$	$2x = 4$ , deci ${x = 2}$
$3$	$2x = 0$ , deci ${x = 0}$
$0$	$2x = -3$ , deci ${x = -1{,}5}$

De fiecare dată am făcut aceiași pași. Îi facem o dată pentru toți

y

\begin{aligned} 2x + 3 &= y \\ 2x &= y - 3 \\ x &= \frac{y - 3}{2} \end{aligned}

Pentru orice

y

real,

\frac{y-3}{2}

e un număr real: soluția există. Și fiecare pas se poate face și invers (de jos în sus), deci nu există altă soluție: e unică. Așadar

f

e bijectivă.

Verifică-te

Din ce

x

vine

y = -5

, adică pentru ce

x

avem

2x + 3 = -5

Grade Celsius și grade Fahrenheit

În Europa temperatura se măsoară în grade Celsius (°C), în SUA în grade Fahrenheit (°F). Manualul dă legea de trecere:

x

grade Celsius înseamnă

f(x) = \frac95 x + 32

grade Fahrenheit.

$x$ (°C)	$f(x)$ (°F)
$0$ (apa îngheață)	$32$
$37$ (corpul omenesc)	$98{,}6$
$100$ (apa fierbe)	$212$

Graficul lui $f(x) = \frac95 x + 32$ : pe orizontală °C, pe verticală °F.

Un pilot sau un meteorolog are nevoie și de drumul înapoi: termometrul arată

y

°F, câte grade Celsius sunt? Rezolvăm

f(x) = y

\begin{aligned} \tfrac95 x + 32 &= y \\ \tfrac95 x &= y - 32 \\ x &= \tfrac59(y - 32) \end{aligned}

Pentru orice

y

există un singur

x

f

e bijectivă. Fiecare temperatură în °F corespunde unei singure temperaturi în °C, iar formula obținută face chiar conversia inversă.

Verifică-te

Un termometru american arată

50

°F. Câte grade Celsius sunt?

De ce funcționează?

De ce e bijectivă $\frac{2x+1}{x-1}$ ?

Un exercițiu rezolvat din manual (p. 95):

f\colon \mathbb R \setminus \{1\} \to \mathbb R \setminus \{2\}

f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}

. Din domeniu lipsește 1 (acolo numitorul e 0), iar din codomeniu lipsește 2. De ce tocmai 2? Rezolvăm

f(x) = y

\begin{aligned} \frac{2x + 1}{x - 1} &= y \\ 2x + 1 &= yx - y \\ 2x - yx &= -y - 1 \\ x(2 - y) &= -y - 1 \\ x &= \frac{y + 1}{y - 2} \end{aligned}

La ultimul pas am împărțit la

2 - y

, deci formula cere

y \ne 2

Mai e un lucru de verificat: $x$ trebuie să fie în domeniu, adică ${x \ne 1}$ . Dacă am avea $\frac{y+1}{y-2} = 1$ , ar rezulta $y + 1 = y - 2$ , adică $1 = -2$ : imposibil.

Deci fiecare $y \ne 2$ are exact o preimagine, $x = \frac{y+1}{y-2}$ , și $f$ e bijectivă. De exemplu, pentru ${y = 5}$ : ${x = \frac63 = 2}$ , iar ${f(2) = \frac51 = 5}$ .

Graficul are două ramuri, despărțite de dreptele punctate $x = 1$ și $y = 2$ .

Verifică-te

Dacă am păstra legea, dar am lua codomeniul

\mathbb R

(adică

f\colon \mathbb R \setminus \{1\} \to \mathbb R

f

ar fi:

Testul dreptei orizontale

Pe grafic, „

f(x) = b

are o soluție” înseamnă că dreapta orizontală

y = b

întâlnește graficul. Pentru

f(x) = 2x + 3

Fiecare dreaptă orizontală taie graficul o singură dată.

Graficul lui $g\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $g(x) = x^3 - 3x$ . În afara desenului, curba continuă: la dreapta urcă, la stânga coboară.

Verifică-te

Imaginează-ți drepte orizontale peste graficul lui

g

. Ce fel de funcție este

g

Schimbăm domeniul sau codomeniul

Aceeași lege,

f(x) = x^2

, poate da o funcție bijectivă sau nu: depinde de domeniu și de codomeniu.

Plin: $x \in [0, 2]$ . Punctat: $x \in [-2, 0)$ . Pe axa $Oy$ e colorat intervalul $[0, 4]$ .

$f(x) = x^2$	Ce iese
${\mathbb R \to \mathbb R}$	nici injectivă ( $(-2)^2 = 2^2$ ), nici surjectivă ( $-1$ nu e atins)
${[0, 2] \to \mathbb R}$	injectivă, dar nu surjectivă ( $5$ nu e atins)
${[-2, 2] \to [0, 4]}$	surjectivă, dar nu injectivă ( $(-2)^2 = 2^2$ )
${[0, 2] \to [0, 4]}$	bijectivă: fiecare $y \in [0, 4]$ vine dintr-un singur $x = \sqrt y$

Micșorând domeniul, scăpăm de perechile cu aceeași valoare (câștigăm injectivitatea). Micșorând codomeniul la valorile atinse, câștigăm surjectivitatea.

Verifică-te

Este bijectivă funcția

f\colon [-1, 2] \to [0, 4]

f(x) = x^2

Cum arăți că NU e bijectivă

„Bijectivă” înseamnă „injectivă și surjectivă”. Din capitolul 1 știi cum se neagă un „și”: devine „sau”.

\begin{aligned} &f \text{ nu e bijectivă} \iff \\ &f \text{ nu e injectivă} \\ &\textbf{sau } f \text{ nu e surjectivă} \end{aligned}

Deci ajunge o singură problemă. Manualul ia $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^2$ : cum $f(-2) = f(2) = 4$ , $f$ nu e injectivă, și gata: $f$ nu e bijectivă.

Manualul verifică apoi și surjectivitatea ( $x^2 = -1$ nu are soluții în $\mathbb R$ ), dar pasul acesta nu mai era necesar pentru concluzie.

Bijecții între mulțimi finite

O bijecție între două mulțimi finite le împerechează elementele, unul câte unul:

Fiecare element din $A$ are o pereche în $B$ , și invers.

Din fiecare element al lui $A$ pleacă o săgeată, iar în fiecare element al lui $B$ ajunge exact una. Deci săgețile sunt tot atâtea câte elemente are $A$ , dar și câte elemente are $B$ .

De aceea, dacă $f\colon A \to B$ e bijectivă, $A$ și $B$ au același număr de elemente.

Verifică-te

Poate fi bijectivă o funcție

f\colon \{1, 2, 3, 4, 5\} \to \{a, b, c, d\}

Cum scrie manualul

Definiție. O funcție

f\colon A \to B

se numește bijectivă (sau este o bijecție) dacă este injectivă și surjectivă.

Manualul spune apoi, în cuvinte:

$f$ injectivă: fiecare element din $B$ este imaginea a cel mult unui element din $A$ ;

$f$ surjectivă: fiecare element din $B$ este imaginea a cel puțin unui element din $A$ ;

$f$ bijectivă: fiecare element din $B$ este imaginea a exact unui element din $A$ .

Teoremă. O funcție

f\colon A \to B

este bijectivă dacă și numai dacă ecuația

f(x) = y

are o soluție unică

x \in A

pentru orice

y \in B

Interpretare geometrică. O funcție este bijectivă dacă orice dreaptă orizontală dusă prin punctele codomeniului intersectează graficul funcției într-un singur punct.

Simbol sau termen	Ce înseamnă
bijecție	altă denumire pentru o funcție bijectivă
$\iff$ , „dacă și numai dacă”	cele două afirmații sunt echivalente: oricare o atrage pe cealaltă
soluție unică	există o soluție și nu există alta
$\mathbb R \setminus \{2\}$	toate numerele reale, în afară de 2

Funcții bijective

Un cifru care se poate descifra

Când descifrarea nu merge

Exact o săgeată în fiecare element

Rezolvăm ecuația f(x)=yf(x) = yf(x)=y

Grade Celsius și grade Fahrenheit

De ce e bijectivă 2x+1x−1\frac{2x+1}{x-1}x−12x+1​?

Testul dreptei orizontale

Schimbăm domeniul sau codomeniul

Cum arăți că NU e bijectivă

Bijecții între mulțimi finite

Cum scrie manualul

Rezolvăm ecuația $f(x) = y$

De ce e bijectivă $\frac{2x+1}{x-1}$ ?