Graficul unei funcții

O formulă ca $f(x) = 2x + 1$ e precisă, dar nu-ți arată dintr-o privire cum se poartă funcția. Un desen îți arată.

Începem cu exemplul din manual (p. 63): $f\colon \{-2, 0, 2\} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$. Domeniul are doar trei numere, așa că facem un tabel:

Este $P(1, 3)$ pe grafic? Punem abscisa în formulă: $f(1) = 2 \cdot 1 + 1 = 3$, exact ordonata lui $P$. Da.

Este $Q(2, 4)$ pe grafic? $f(2) = 2 \cdot 2 + 1 = 5$, iar $5 \ne 4$. Nu: punctul graficului cu abscisa 2 este $(2, 5)$, iar $Q$ e sub el.

Cu axa $Oy$: pe $Oy$ toate punctele au abscisa 0, deci punem $x = 0$: $f(0) = 100$. Punctul $(0, 100)$: la început, elevul are 100 de lei.

Cu axa $Ox$: pe $Ox$ toate punctele au ordonata 0, deci rezolvăm $f(x) = 0$: ${-10x + 100 = 0}$, de unde $x = 10$. Punctul $(10, 0)$: după 10 săptămâni, banii s-au terminat.

Dreapta verticală $x = 1$ întâlnește graficul într-un singur punct, $(1, f(1)) = (1, 1)$. Așa e pentru orice dreaptă $x = m$ cu $m$ din domeniu: punctul comun este $(m, f(m))$.

O dreaptă orizontală poate întâlni graficul de mai multe ori sau deloc. Pentru $y = 4$ rezolvăm $x^2 = 4$: $x = -2$ sau $x = 2$, deci două puncte. Pentru $y = -1$, ecuația ${x^2 = -1}$ nu are soluții (un pătrat nu e negativ), deci niciun punct.

Graficul taie $Ox$ în $(2, 0)$, pentru că ${3x - 6 = 0}$ dă $x = 2$.

La dreapta lui 2, graficul e deasupra axei $Ox$: punctele lui au ordonata pozitivă, adică $f(x) > 0$. La stânga lui 2 e sub $Ox$: $f(x) < 0$. Algebric: $3x - 6 > 0$ exact când $x > 2$.

Ies două bucăți: $[-2, -1]$ și $[1, 2]$. Verificare: $(-1)^2 = 1^2 = 1$, $(-2)^2 = 2^2 = 4$, iar între ele pătratul e între 1 și 4.

Mulțimea $[-2, -1] \cup [1, 2]$ se numește preimaginea lui $[1, 4]$ și se scrie $g^{-1}([1, 4])$.

Cu $Oy$: 0 intră în a doua ramură ($x \ge 0$), deci $f(0) = -\frac{1}{2} \cdot 0 = 0$: punctul $(0, 0)$. Cercul gol din $(0, 1)$ arată că $(0, 1)$ nu e pe grafic: ramura $2x + 1$ se oprește înainte de 0.

Cu $Ox$: rezolvăm pe fiecare ramură. ${2x + 1 = 0}$ dă $x = -\frac{1}{2}$, care e $< 0$, deci e bun. $-\frac{1}{2}x = 0$ dă $x = 0$, bun și el. Două puncte: $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$ și $(0, 0)$.

De ce soluțiile lui $f(x) = m$ sunt abscise? Un punct $(x, y)$ e și pe grafic, și pe dreapta $y = m$ exact când $y = f(x)$ și $y = m$, adică $f(x) = m$. Fiecare soluție $x$ dă un punct comun, $(x, m)$, și fiecare punct comun dă o soluție: de aceea sunt tot atâtea soluții câte puncte. La $f(x) = g(x)$ e la fel: un punct comun $(x, y)$ are $y = f(x)$ și $y = g(x)$.

De ce se vede semnul pe desen? Punctul graficului de deasupra (sau de sub) $x$ este $(x, f(x))$: $f(x)$ este chiar înălțimea lui. Înălțime pozitivă înseamnă deasupra lui $Ox$, negativă înseamnă dedesubt.

Observație. Fiecărui element din $G_f$ îi corespunde un unic punct geometric $M(x, y)$ în plan, iar mulțimea punctelor $M$ este reprezentarea geometrică a graficului. Manualul convine să identifice graficul cu reprezentarea lui geometrică.

Intersecția cu axele. Dacă $0 \in A$, punctul de intersecție cu $Oy$ este $(0, f(0))$; dacă $0 \notin A$, nu există intersecție cu $Oy$. Pentru $Ox$ se rezolvă ecuația $f(x) = 0$; fiecărei soluții reale $x_0$ îi corespunde un punct $P(x_0, 0)$. $G_f \cap Oy$ poate fi vidă sau formată dintr-un element; $G_f \cap Ox$ poate fi vidă, poate avea un element sau mai multe.

Drepte remarcabile. Dreapta verticală ${x = m}$ conține punctele cu abscisa $m$; dacă $m$ e în domeniu, ea taie $G_f$ într-un unic punct, $(m, f(m))$. Dreapta orizontală $y = m$ conține punctele cu ordonata $m$; intersecția ei cu graficul se obține rezolvând ecuația $f(x) = m$.

Interpretarea geometrică. Soluțiile ecuației $f(x) = m$ sunt abscisele punctelor de intersecție dintre $G_f$ și dreapta $y = m$; numărul soluțiilor reale distincte este egal cu numărul punctelor de intersecție. Soluțiile ecuației $f(x) = g(x)$ sunt abscisele punctelor de intersecție dintre $G_f$ și $G_g$.

Semnul unei funcții se bazează pe poziția graficului față de $Ox$: $f(x) > 0$ când $G_f$ e deasupra lui $Ox$, $f(x) < 0$ când e sub $Ox$.

Interpretare grafică. Imaginea $f(A_1)$ a unei submulțimi $A_1$ a domeniului: ridici perpendiculare pe $Ox$ prin punctele lui $A_1$ și proiectezi pe $Oy$ porțiunea de grafic obținută. Preimaginea $f^{-1}(B_1)$ a unei submulțimi $B_1$ a codomeniului: construiești perpendiculare pe $Oy$ prin punctele lui $B_1$ și proiectezi pe $Ox$ porțiunea de grafic obținută.