Funcții injective

Fiecare cetățean român are un Cod Numeric Personal (CNP). Funcția care duce fiecare persoană în CNP-ul ei are ceva în plus față de o funcție oarecare: două persoane diferite nu au niciodată același cod. Dacă știi codul, știi exact cine e persoana.

Același lucru, în clasă. În catalog, fiecare elev are numărul lui de ordine:

Pe o diagramă cu săgeți, din fiecare element al lui $A$ pleacă exact o săgeată: de aceea $f$ e funcție.

Pentru injectivitate ne uităm la săgețile care sosesc în $B$: în niciun element al lui $B$ nu au voie să sosească două săgeți.

Pentru $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$, nu putem desena toate săgețile. Dar ne ajung două numere: ${f(-1) = 1}$ și ${f(1) = 1}$. Numerele $-1$ și $1$ sunt diferite și au aceeași valoare, deci $f$ nu e injectivă.

Definiția cere ceva despre toate perechile de numere diferite. Ca la propozițiile cu „oricare” din capitolul 1, o singură pereche care nu respectă cerința o strică: e un contraexemplu.

De ce? Ia două numere diferite. Unul e mai mic; să zicem $x_1 < x_2$. Atunci $2x_1 < 2x_2$, deci $2x_1 + 1 < 2x_2 + 1$, adică $f(x_1) < f(x_2)$. Valorile nu pot fi egale.

Același raționament merge pentru orice funcție strict crescătoare (din $x_1 < x_2$ rezultă $f(x_1) < f(x_2)$, manual, p. 70): numărul mai mic are valoarea mai mică. La o funcție strict descrescătoare, numărul mai mic are valoarea mai mare. În ambele cazuri, valorile diferă.

$f$ urcă, apoi coboară, deci nu e monotonă: $f(2) = 2 < f(3) = 4$, dar $f(3) = 4 > f(4) = 3$.

Totuși, prima bucată ia valori în $[0, 2]$, iar a doua în $[3, 5)$. Nicio valoare nu apare de două ori, iar orice dreaptă orizontală taie graficul cel mult o dată. Deci $f$ e injectivă.

O activitate din manual (p. 87): echipa ta trebuie să trimită în secret cuvântul JAVA. Fiecare literă devine un număr, A = 1, B = 2, …, Z = 26, iar numărul trece printr-o funcție de criptare. Doi colegi propun câte una:

Bianca: $f(x) = 3x - 5$; Cristian: $g(x) = x^2 - 26x$, ambele definite pe $\{1, 2, \dots, 26\}$.

Cine primește $-168$ nu știe dacă ai trimis L sau N: $g$ nu e injectivă, iar cifrul e nesigur.

De unde perechea? Completând pătratul (din gimnaziu), $g(x) = (x - 13)^2 - 169$. Valoarea depinde doar de cât de departe e $x$ de 13, iar 12 și 14 sunt amândouă la distanța 1.

Și $f(x) = 3x - 5$, funcția Biancăi? Ca s-o declari sigură, trebuie verificate toate perechile de litere, nu doar câteva.

Definiția spune: „dacă $x_1 \ne x_2$, atunci $f(x_1) \ne f(x_2)$”. Cu semnul $\ne$ e greu de calculat. Din capitolul 1 știm că o implicație spune același lucru ca contrapoziția ei. Deci putem verifica, la fel de bine:

Manualul (p. 86) ia $f(x) = x^2 - 4x + 1$ pe intervalul $[2, \infty)$. Pe tot $\mathbb{R}$ nu e injectivă: $f(0) = f(4) = 1$.

Completând pătratul (din gimnaziu), $f(x) = (x - 2)^2 - 3$: graficul coboară până la $x = 2$, apoi urcă. Păstrăm doar partea din dreapta lui 2:

Un produs e 0 când unul dintre factori e 0.

Cum $x_1 \ge 2$ și $x_2 \ge 2$, avem $x_1 + x_2 \ge 4$. A doua paranteză e 0 doar dacă ${x_1 = x_2 = 2}$. Altfel, prima paranteză e 0, adică $x_1 = x_2$. În ambele cazuri $x_1 = x_2$, deci $f$ e injectivă pe $[2, \infty)$.

$f(x) = x$ și $g(x) = -x$, de la $\mathbb{R}$ la $\mathbb{R}$, sunt injective. Dar:

$(f + g)(x) = x - x = 0$, aceeași valoare pentru orice $x$;

$(f \cdot g)(x) = -x^2$, cu $(f \cdot g)(-1) = (f \cdot g)(1) = -1$.

Niciuna nu e injectivă. Alteori suma iese injectivă: $x + x = 2x$. Deci la sumă și la produs trebuie verificat de fiecare dată (manual, p. 88).

Negând definiția: $f\colon A \to B$ nu este injectivă (este neinjectivă) dacă există $x_1, x_2 \in A$, cu $x_1 \ne x_2$, astfel încât $f(x_1) = f(x_2)$.

Interpretare geometrică: o funcție este injectivă dacă dreapta orizontală construită prin orice punct al codomeniului intersectează graficul funcției în cel mult un punct.

Observație: orice funcție strict monotonă (strict crescătoare sau strict descrescătoare) pe domeniul său este injectivă. Atenție! Reciproca nu este adevărată.

Observație (p. 88): în general, injectivitatea nu se conservă la adunarea și la înmulțirea funcțiilor. În schimb, compunerea a două funcții injective este o funcție injectivă: dacă $f$ și $g$ sunt injective și se pot compune, $f \circ g$ este injectivă.