Funcții inversabile

Pasul 1 din 12

Drumul înapoi

Un magazin online primește plăți în lei și le trimite în euro unui furnizor (manual, p. 98). Pentru o plată de

x

lei, sistemul împarte la 5 (1 euro = 5 lei) și adaugă un comision fix de 5 euro:

f(x) = \frac{x}{5} + 5

Suma în euro, cu tot cu comisionul, pentru o plată de

x

lei.

Plata în lei, $x$	Suma în euro, $f(x)$
$10$	$10 : 5 + 5 = 7$
$50$	$50 : 5 + 5 = 15$
$100$	$100 : 5 + 5 = 25$

La un retur, drumul se face invers: magazinul știe suma în euro și caută plata inițială în lei. Desfacem operațiile în ordine inversă: întâi scădem comisionul, apoi înmulțim cu 5.

\begin{aligned} 100 &\xrightarrow{\;:5\;} 20 \xrightarrow{\;+5\;} 25 \\ 25 &\xrightarrow{\;-5\;} 20 \xrightarrow{\;\cdot 5\;} 100 \end{aligned}

Sus, drumul lui

f

. Jos, drumul înapoi, care desface ce a făcut

f

Verifică-te

Unui client i se returnează 55 de euro. Câți lei plătise?

Săgețile întoarse

Un exemplu din informatică (manual, p. 98): un cod secret. Fiecare literă dintre A, M, O, R primește un număr. De exemplu,

E(\text{M}) = 1

Codarea $E$ : litere diferite primesc numere diferite.

Cine primește un număr trebuie să afle litera, adică să decodeze. Pornește de la număr și merge pe săgeată înapoi, până la literă. Decodarea

D

este funcția cu săgețile întoarse.

Verifică-te

Ce literă se ascunde în spatele numărului

2

Dus și întors: funcția identitate

Punem codarea și decodarea una după alta. Pornim de la o literă, mergem pe săgeata lui

E

la număr, apoi pe săgeata lui

D

înapoi:

Fiecare literă ajunge înapoi la ea însăși.

${D(E(\text{A})) = D(3) = \text{A}}$ , la fel pentru M, O și R. O funcție care lasă fiecare element pe loc se numește funcția identitate; pe o mulțime $A$ se notează $1_A$ , cu ${1_A(x) = x}$ . Deci $D \circ E$ este identitatea literelor.

Invers, un număr decodat și apoi codat revine la el însuși: ${E(D(4)) = E(\text{O}) = 4}$ . Deci $E \circ D$ este identitatea codurilor.

De ce funcționează?

De ce doar funcțiile bijective?

Întoarcem săgețile la două funcții care nu sunt bijective și vedem ce se strică. Prima:

g\colon \{1, 2, 3\} \to \{a, b\}

, cu

g(1) = g(2) = a

și

g(3) = b

. Nu e injectivă. Întoarsă:

Din $a$ pleacă două săgeți: drumul înapoi nu e o funcție.

A doua:

h\colon \{1, 2\} \to \{a, b, c\}

, cu

h(1) = a

și

h(2) = b

. Nu e surjectivă. Întoarsă:

Din $c$ nu pleacă nicio săgeată: $c$ n-ar avea unde să meargă.

Verifică-te

k\colon \{1, 2, 3\} \to \{a, b, c\}

, cu

k(1) = b

k(2) = c

k(3) = b

. Este

k

inversabilă?

Formula inversei: rezolvăm $y = f(x)$

Înapoi la magazin, cu

f\colon (0, \infty) \to (5, \infty)

. Ca să găsim returul pentru orice sumă în euro, notăm suma în euro cu

y

și scoatem

x

din egalitate:

\begin{aligned} y &= \frac{x}{5} + 5 \\ y - 5 &= \frac{x}{5} \\ x &= 5(y - 5) \end{aligned}

Pentru fiecare

y > 5

iese un singur

x

, iar

5(y - 5) > 0

e o plată posibilă. Deci

f

e bijectivă. Variabila se notează de obicei cu

x

, așa că redenumim

y

în

x

\begin{aligned} &f^{-1}\colon (5, \infty) \to (0, \infty) \\ &f^{-1}(x) = 5(x - 5) \end{aligned}

Verificare:

f(f^{-1}(x)) = \frac{5(x - 5)}{5} + 5 = x

Verifică-te

f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = 2x - 6

. Cât este

f^{-1}(x)

Graficul inversei: oglinda dreptei $y = x$

Desenăm

f(x) = 2x - 6

și inversa ei,

f^{-1}(x) = \frac{x + 6}{2}

, împreună cu dreapta

y = x

(punctată):

Fiecare punct al lui $f$ are perechea lui în oglindă pe $f^{-1}$ .

$f(4) = 2$ , deci $A(4, 2)$ e pe graficul lui $f$ . Atunci $f^{-1}(2) = 4$ , deci $A'(2, 4)$ e pe graficul lui $f^{-1}$ . La fel $B(2, -2)$ și $B'(-2, 2)$ . Coordonatele își schimbă locul, iar punctele sunt simetrice față de dreapta $y = x$ , ca într-o oglindă. Tot graficul lui $f^{-1}$ e imaginea în oglindă a graficului lui $f$ .

Cele două grafice se întâlnesc în $(6, 6)$ , pe dreapta $y = x$ , unde punctul e propria lui oglindă. Observă și că $f$ e crescătoare, iar $f^{-1}$ e și ea crescătoare (manual, p. 97).

Verifică-te

Punctul

(3, 7)

e pe graficul unei funcții inversabile

g

. Care punct e sigur pe graficul lui

g^{-1}

De ce funcționează?

De ce e o oglindă?

Luăm un punct și pe cel cu coordonatele schimbate,

P(1, 4)

și

Q(4, 1)

Dreptele punctate desenează un pătrat cu vârfurile $(1, 1)$ , $(4, 1)$ , $(4, 4)$ și $(1, 4)$ . $P$ și $Q$ sunt vârfuri opuse, deci $PQ$ e o diagonală. Cealaltă diagonală, de la $(1, 1)$ la $(4, 4)$ , stă pe dreapta $y = x$ .

Din gimnaziu știi că diagonalele unui pătrat sunt perpendiculare și se taie la mijloc, în $M(2{,}5;\ 2{,}5)$ . Deci dreapta $y = x$ e perpendiculară pe $PQ$ și trece prin mijlocul lui: $Q$ e imaginea lui $P$ în oglinda $y = x$ .

La fel pentru orice punct $(a, b)$ și perechea lui $(b, a)$ . Iar $f(a) = b$ înseamnă exact $f^{-1}(b) = a$ : fiecare punct $(a, b)$ al graficului lui $f$ are perechea $(b, a)$ pe graficul lui $f^{-1}$ .

O funcție pe ramuri

f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

are două formule:

f(x) = \begin{cases} 2x, & x < 1 \\ x + 1, & x \ge 1 \end{cases}

Cele două ramuri se întâlnesc în punctul $(1, 2)$ .

Rezolvăm

y = f(x)

pe bucăți. Pentru

x < 1

2x

ia toate valorile mai mici decât 2, fiecare o singură dată (sub dreapta

y = 2

). Deci, dacă

y < 2

, valoarea vine din prima ramură: din

y = 2x

rezultă

x = \frac{y}{2}

Verifică-te

Acum ramura

x + 1

, cu

x \ge 1

. Ce valori

y

dă ea și din ce

x

vin?

Inversa pe ramuri, în oglindă

Ramura

2x

dă valorile

y < 2

, ramura

x + 1

dă valorile

y \ge 2

. Bucățile nu se suprapun și acoperă tot

\mathbb{R}

, deci

f

e bijectivă. Inversa iese tot pe ramuri:

f^{-1}(x) = \begin{cases} \frac{x}{2}, & x < 2 \\ x - 1, & x \ge 2 \end{cases}

Dreapta punctată este $y = x$ .

Locul unde se schimbă formula trece și el în oglindă: la

f

e punctul

(1, 2)

, la

f^{-1}

(2, 1)

. Verificare:

f(3) = 4

și

f^{-1}(4) = 3

;

f(-1) = -2

și

f^{-1}(-2) = -1

Verifică-te

Cât este

f^{-1}(10)

Fără inversă: $x^2$ pe $\mathbb{R}$

f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = x^2

. Desenăm graficul și două drepte orizontale:

Dreapta

y = 4

taie parabola de două ori:

f(-2) = f(2) = 4

. Cu săgețile întoarse, din 4 ar trebui să plece două săgeți, spre

-2

și spre

2

. Dreapta

y = -1

nu taie parabola deloc: niciun pătrat nu e negativ, deci

-1

n-ar avea unde să meargă. Așadar

f

nu e nici injectivă, nici surjectivă: nu e inversabilă.

Restrângem domeniul

Păstrăm doar jumătatea dreaptă a parabolei:

f\colon [0, \infty) \to [0, \infty)

f(x) = x^2

. Acum orice dreaptă

y = b

, cu

b \ge 0

, taie graficul o singură dată, deci

f

e bijectivă.

Jumătatea $x \ge 0$ a parabolei și oglinda ei față de $y = x$ .

Rezolvăm

y = x^2

x \ge 0

: singura soluție este

x = \sqrt{y}

. Deci

f^{-1}\colon [0, \infty) \to [0, \infty)

f^{-1}(x) = \sqrt{x}

. Oglinda lui

(2, 4)

este

(4, 2)

, adică

\sqrt{4} = 2

Verifică-te

Păstrăm jumătatea stângă:

f\colon (-\infty, 0] \to [0, \infty)

f(x) = x^2

. Care este inversa?

Cum scrie manualul

Definiție (p. 97). Spunem că funcția ${f\colon A \to B}$ este inversabilă dacă există o funcție $g\colon B \to A$ astfel încât:

$(g \circ f)(x) = x$ , pentru orice $x \in A$ ( $g \circ f = 1_A$ );

$(f \circ g)(y) = y$ , pentru orice $y \in B$ ( $f \circ g = 1_B$ ),

unde $1_A\colon A \to A$ și $1_B\colon B \to B$ sunt funcțiile identitate: $1_A(x) = x$ și $1_B(x) = x$ . Funcția $g$ se notează cu $f^{-1}$ și se numește inversa funcției $f$ .

Reținem! Atunci când există, inversa „inversează” domeniul și codomeniul funcției inițiale. Iar atunci când există, inversa e unică.

Teoremă. O funcție ${f\colon A \to B}$ este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.

Proprietăți:

Simetria: graficele lui $f$ și $f^{-1}$ sunt simetrice față de prima bisectoare, dreapta de ecuație $y = x$ .

Monotonia: dacă $f$ e strict monotonă, atunci e injectivă. Dacă e și surjectivă, $f^{-1}$ are același tip de monotonie ca $f$ .

Calculul inversei: rezolvăm ecuația ${f(x) = y}$ în raport cu $x$ .

Funcții inversabile

Drumul înapoi

Săgețile întoarse

Dus și întors: funcția identitate

De ce doar funcțiile bijective?

Formula inversei: rezolvăm y=f(x)y = f(x)y=f(x)

Graficul inversei: oglinda dreptei y=xy = xy=x

De ce e o oglindă?

O funcție pe ramuri

Inversa pe ramuri, în oglindă

Fără inversă: x2x^2x2 pe R\mathbb{R}R

Restrângem domeniul

Cum scrie manualul

Formula inversei: rezolvăm $y = f(x)$

Graficul inversei: oglinda dreptei $y = x$

Fără inversă: $x^2$ pe $\mathbb{R}$