Monotonie și mărginire

Pasul 1 din 12

Antrenamentul lui Andrei

Andrei aleargă și își notează, în fiecare săptămână de antrenament, timpul mediu pe kilometru. Notăm cu $x$ numărul săptămânii (de la 0 la 10) și cu $f(x)$ timpul, în minute pe kilometru (manual, p. 70).

Câteva valori din jurnalul lui:

Săptămâna $x$	Timpul $f(x)$
$0$ (începutul)	$7{,}0$ min/km
$8$	$5{,}2$ min/km
$10$ (finalul)	$5{,}3$ min/km

Pe $Ox$ : săptămâna. Pe $Oy$ : minute pe kilometru.

Citește graficul ca pe un drum, de la stânga la dreapta: pe măsură ce

x

crește, urmărește ce face înălțimea punctului, adică

f(x)

Verifică-te

Între ce săptămâni crește timpul pe kilometru?

Intervale de monotonie

Pe intervalul colorat, $[0, 8]$ , graficul coboară.

Pe $[0, 8]$ , când $x$ crește, $f(x)$ scade: spunem că $f$ este strict descrescătoare pe $[0, 8]$ .

Pe $[8, 10]$ , când $x$ crește, $f(x)$ crește: $f$ este strict crescătoare pe $[8, 10]$ .

Intervalele $[0, 8]$ și $[8, 10]$ se numesc intervale de monotonie. Pe tot domeniul $[0, 10]$ , funcția își schimbă sensul, deci e nemonotonă; dar e monotonă pe intervale.

Aici,

x = 8

, unde graficul trece de la coborâre la urcare, e punctul de minim:

f(8) = 5{,}2

e cel mai mic timp, adică

f(x) \ge 5{,}2

pentru orice

x \in [0, 10]

. Valoarea

5{,}2

e minimul funcției.

Două puncte, o comparație

Cum spunem „urcă” fără desen? Comparăm două puncte. Luăm

f(x) = x + 1

și

g(x) = 4 - x

, și două valori ale lui

x

{x_1 = 1}

și

{x_2 = 3}

, cu

{x_1 < x_2}

La $f$ : $f(1) = 2 < f(3) = 4$ . Ordinea se păstrează: $x$ mai mare, valoare mai mare.

La $g$ : $g(1) = 3 > g(3) = 1$ . Ordinea se inversează: $x$ mai mare, valoare mai mică.

$f$ e strict crescătoare dacă, pentru orice $x_1 < x_2$ din domeniu, $f(x_1) < f(x_2)$ . La $f(x) = x + 1$ e adevărat: dacă $x_1 < x_2$ , atunci $x_1 + 1 < x_2 + 1$ .

$g$ e strict descrescătoare dacă, pentru orice $x_1 < x_2$ , $g(x_1) > g(x_2)$ .

Verifică-te

f\colon \mathbb R \to \mathbb R

f(x) = x^2

. Știm că

1 < 2

și

f(1) = 1 < f(2) = 4

. Este

f

strict crescătoare pe

\mathbb R

Strict sau nu?

Un taxi cere 8 lei pentru orice cursă de cel mult 2 km; peste 2 km, fiecare kilometru în plus costă 2 lei. Prețul unei curse de

x

km, pentru

x \in (0, 8]

f(x) = \begin{cases} 8, & 0 < x \le 2 \\ 2x + 4, & 2 < x \le 8 \end{cases}

De exemplu,

f(3) = 2 \cdot 3 + 4 = 10

: 8 lei plus 2 lei pentru al treilea kilometru.

Primii 2 km: graficul e un segment orizontal.

O cursă mai lungă nu costă niciodată mai puțin: dacă $x_1 < x_2$ , atunci $f(x_1) \le f(x_2)$ . Dar $f(1) = f(2) = 8$ : prețul nu crește strict. Spunem că $f$ este crescătoare (fără „strict”).

La fel, $f$ e descrescătoare dacă, pentru orice $x_1 < x_2$ , $f(x_1) \ge f(x_2)$ . Iar dacă $f(x_1) = f(x_2)$ pentru orice $x_1, x_2$ , $f$ e constantă: graficul e o bucată de dreaptă orizontală.

Funcții pe ramuri (manual, p. 71)

$f$ e egală cu $f_1$ pentru $x \le a$ și cu $f_2$ pentru $x > a$ . Dacă $f_1$ și $f_2$ sunt crescătoare și $f_1(a) \le f_2(x)$ pentru orice $x > a$ , atunci $f$ e crescătoare. De ce: pentru ${x_1 \le a < x_2}$ , ${f_1(x_1) \le f_1(a)} \le f_2(x_2)$ . Dacă ambele ramuri sunt strict crescătoare, $f$ e strict crescătoare.

La taxi: $a = 2$ , $f_1 = 8$ (constantă, deci crescătoare), $f_2(x) = 2x + 4$ , iar ${2x + 4 > 8}$ pentru $x > 2$ . Exemplul manualului: $2x + 1$ pentru $x \le -1$ și $x + 2$ pentru $x > -1$ ; ramurile sunt strict crescătoare și ${2 \cdot (-1) + 1 = -1}$ , mai mic decât ${x + 2 > 1}$ . Deci $f$ e strict crescătoare.

Verifică-te

f\colon \mathbb R \to \mathbb R

f(x) = 4

. După definițiile de mai sus (cu

\le

și

\ge

f

este:

Raportul de variație

Un alt fel de a compara două puncte: împărțim schimbările. Graficul lui

f(x) = 2x - 1

De la

A

B

x

se schimbă de la 1 la 3, iar

f(x)

de la 1 la 5. Împărțim schimbarea valorii la schimbarea lui

x

, scăzând în aceeași ordine sus și jos:

\begin{aligned} R_f(1, 3) &= \frac{f(1) - f(3)}{1 - 3} \\ &= \frac{1 - 5}{1 - 3} = \frac{-4}{-2} = 2 \end{aligned}

În general, pentru

x_1 \ne x_2

din domeniu, raportul de variație este

R_f(x_1, x_2) = \dfrac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}

La Andrei, între săptămânile 0 și 8:

R_f(0, 8) = \frac{7 - 5{,}2}{0 - 8} = -0{,}225

. Timpul a scăzut, în medie, cu

0{,}225

min/km pe săptămână.

Verifică-te

f(x) = -3x + 5

. Cât este

R_f(1, 3)

De ce funcționează?

De ce are $2x^3 + x - 3 = 0$ o singură soluție?

Manualul (p. 72) arată că ecuația

{2x^3 + x - 3 = 0}

are soluția unică

x = 1

. Că 1 e soluție se vede imediat:

{2 + 1 - 3 = 0}

. Dar de unde știm că nu mai există alta?

Ideea:

{f(x) = 2x^3 + x - 3}

e strict crescătoare. Calculăm întâi diferența valorilor (termenii

-3

se reduc):

\begin{aligned} &f(x_1) - f(x_2) \\ &= 2(x_1^3 - x_2^3) + (x_1 - x_2) \end{aligned}

Cu formula din gimnaziu

{a^3 - b^3} = {(a - b)(a^2 + ab + b^2)}

, fiecare termen are factorul

{x_1 - x_2}

. Împărțim la el:

\begin{aligned} R_f &= 2(x_1^2 + x_1 x_2 + x_2^2) + 1 \\ &= x_1^2 + (x_1 + x_2)^2 + x_2^2 + 1 \end{aligned}

Ca să verifici ultimul rând, desfă

(x_1 + x_2)^2

O sumă de pătrate plus 1 e cel puțin 1, deci

R_f > 0

pentru orice

x_1 \ne x_2

f

e strict crescătoare. Graficul urcă tot timpul, așa că taie axa

Ox

cel mult o dată:

Funcția $\frac{1}{x}$ : două ramuri

f\colon \mathbb R^* \to \mathbb R

f(x) = \frac1x

(

\mathbb R^*

= numerele reale fără 0). Graficul are două ramuri:

Pe $(-\infty, 0)$ : $f(-2) = -\frac12$ , $f(-1) = -1$ . Ramura coboară.

Pe $(0, +\infty)$ : $f(1) = 1$ , $f(2) = \frac12$ . Ramura coboară și ea.

Deci $f$ e strict descrescătoare pe fiecare dintre cele două intervale.

Verifică-te

Este

f

descrescătoare pe tot

\mathbb R^*

Mărginită

Un medicament: concentrația lui în sânge, la

x

ore după administrare, este

f(x) = \frac{4x}{x^2 + 1}

mg/L, pentru

x \ge 0

(manual, p. 73).

$x$ (ore)	$0$	$1$	$2$	$3$	$10$
$f(x)$	$0$	$2$	$1{,}6$	$1{,}2$	$\approx 0{,}4$

Graficul stă între axa $Ox$ ( $y = 0$ ) și dreapta $y = 2$ .

Concentrația urcă repede până la 2, după o oră, apoi scade încet. Nu trece niciodată de 2 și nu coboară sub 0.

$f$ e mărginită superior dacă există un număr $M$ cu $f(x) \le M$ pentru orice $x$ : graficul nu trece deasupra dreptei $y = M$ . E mărginită inferior dacă există $m$ cu $f(x) \ge m$ pentru orice $x$ . Și e mărginită dacă e și una, și alta.

Aici cea mai mare valoare, 2, e atinsă (în $x = 1$ ): e maximul funcției. Cea mai mică, 0 (în $x = 0$ ), e minimul.

Verifică-te

Care dintre aceste numere nu poate fi

M

, adică nu verifică

f(x) \le M

pentru orice

x \ge 0

De ce funcționează?

De ce $0 \le f(x) \le 2$ ?

Graficul ne-a arătat marginile doar pentru

x

între 0 și 8. Algebra le confirmă pentru orice

x \ge 0

Jos:

4x \ge 0

și

x^2 + 1 > 0

, deci

f(x) \ge 0

; egalitate doar pentru

x = 0

Sus: ne uităm la diferența

2 - f(x)

, adusă la același numitor:

\begin{aligned} 2 - f(x) &= \frac{2x^2 + 2 - 4x}{x^2 + 1} \\ &= \frac{2(x - 1)^2}{x^2 + 1} \ge 0 \end{aligned}

Un pătrat nu e negativ, iar numitorul e pozitiv. Deci

f(x) \le 2

, cu egalitate doar când

x = 1

Are $g$ un minim?

Alt medicament se elimină treptat: concentrația lui e

g(x) = \frac{2}{x + 1}

, pentru

x \ge 0

. Avem

g(0) = 2

g(1) = 1

g(3) = 0{,}5

g(9) = 0{,}2

Cu cât trece timpul, cu atât

g(x)

e mai aproape de 0. Totuși

g(x) > 0

, pentru că

2 > 0

și

x + 1 > 0

. Iar

g(x) \le 2

, pentru că

x + 1 \ge 1

. Deci

g

e mărginită:

0 < g(x) \le 2

, iar maximul e 2, în

x = 0

Verifică-te

Care este minimul lui

g

, adică cea mai mică valoare pe care o ia?

Are $x^3$ margini?

La pasul trecut,

g

era mărginită, dar fără minim. Deci afirmația „Orice funcție mărginită admite maxim și minim” (manual, p. 73) e falsă, iar

g

e un contraexemplu.

O funcție care nu e mărginită superior sau nu e mărginită inferior se numește nemărginită. Manualul întreabă: este

f\colon \mathbb R \to \mathbb R

f(x) = x^3

, mărginită? Câteva valori:

$x$	$1$	$2$	$5$	$10$
$x^3$	$1$	$8$	$125$	$1000$

Ce se întâmplă cu

x^3

când

x

crește tot mai mult? Dar când

x

e negativ, tot mai departe de 0?

Verifică-te

Funcția

f(x) = x^3

, pe

\mathbb R

, este:

Cum scrie manualul

Monotonia descrie cum se schimbă valoarea funcției pe axa

Oy

în timp ce argumentul

x

crește pe axa

Ox

. Se consideră

f\colon D \to \mathbb R

, unde

D \subseteq \mathbb R

e un interval (manual, p. 70).

Proprietate	Definiție formală
$f$ strict crescătoare (crescătoare)	$\forall x_1, x_2 \in D$ , ${x_1 < x_2} \Rightarrow$ ${f(x_1) < f(x_2)}$ ( ${f(x_1) \le f(x_2)}$ )
$f$ strict descrescătoare (descrescătoare)	$\forall x_1, x_2 \in D$ , ${x_1 < x_2} \Rightarrow$ ${f(x_1) > f(x_2)}$ ( ${f(x_1) \ge f(x_2)}$ )
$f$ constantă	$\forall x_1, x_2 \in D$ : ${f(x_1) = f(x_2)}$

Interpretare grafică: graficul unei funcții strict crescătoare urcă pe măsură ce îl parcurgem de la stânga la dreapta; al uneia strict descrescătoare coboară; al unei funcții constante e pe o dreaptă orizontală (segment, semidreaptă sau întreaga dreaptă).

O funcție strict crescătoare sau strict descrescătoare pe $D$ e strict monotonă; crescătoare sau descrescătoare, monotonă; altfel, nemonotonă. Intervalele pe care o funcție e monotonă sunt intervalele de monotonie; o funcție poate fi nemonotonă, dar monotonă pe intervale.

Raportul de variație: pentru $x_1, x_2 \in D$ , $x_1 \ne x_2$ ,

R_f(x_1, x_2) = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}

Dacă

R_f(x_1, x_2) > 0

f

e strict crescătoare; dacă

R_f(x_1, x_2) < 0

, strict descrescătoare.

Mărginirea se referă la limitarea mulțimii valorilor funcției (imaginea

\operatorname{Im} f

). Pentru

f\colon D \to \mathbb R

(manual, p. 72):

Proprietate	Definiție analitică
$f$ mărginită superior	$\exists M \in \mathbb R$ astfel încât $\forall x \in D$ , ${f(x) \le M}$
$f$ mărginită inferior	$\exists m \in \mathbb R$ astfel încât $\forall x \in D$ , ${f(x) \ge m}$
$f$ mărginită	este mărginită superior și inferior

Interpretare grafică: graficul unei funcții mărginite superior e complet sub dreapta orizontală

y = M

(sau cu unele puncte pe ea); al uneia mărginite inferior, complet deasupra unei drepte

y = m

(sau cu unele puncte pe ea); al unei funcții mărginite, într-o bandă orizontală, între două drepte paralele.

O funcție care nu e mărginită inferior sau nu e mărginită superior se numește funcție nemărginită.

Minimul funcției e valoarea ei cea mai mică, iar punctul de minim e locul unde e atinsă (la Andrei, minimul $f(8) = 5{,}2$ , punctul de minim $x = 8$ ). La fel pentru maxim. Manualul scrie $\forall$ pentru „oricare”, $\exists$ pentru „există” și $\Rightarrow$ pentru „implică” (capitolul 1).

Monotonie și mărginire

Antrenamentul lui Andrei

Intervale de monotonie

Două puncte, o comparație

Strict sau nu?

Raportul de variație

De ce are 2x3+x−3=02x^3 + x - 3 = 02x3+x−3=0 o singură soluție?

Funcția 1x\frac{1}{x}x1​: două ramuri

Mărginită

De ce 0≤f(x)≤20 \le f(x) \le 20≤f(x)≤2?

Are ggg un minim?

Are x3x^3x3 margini?

Cum scrie manualul

De ce are $2x^3 + x - 3 = 0$ o singură soluție?

Funcția $\frac{1}{x}$ : două ramuri

De ce $0 \le f(x) \le 2$ ?

Are $g$ un minim?

Are $x^3$ margini?