Operații cu funcții

Ana și Mihai strâng bani pentru o excursie. După $x$ săptămâni, Ana are ${10x + 30}$ lei (avea 30 și pune 10 pe săptămână), iar Mihai are ${20x + 10}$ lei. Notăm ${f(x) = 10x + 30}$ și ${g(x) = 20x + 10}$.

Cât au împreună? Adunăm, săptămână cu săptămână, cele două valori:

La fel lucrăm cu celelalte operații: le facem valoare cu valoare, pentru fiecare $x$.

Diferența. Cu câți lei are Mihai mai mult decât Ana? Scădem valorile: ${(g - f)(x)} = {g(x) - f(x)}$, adică

Înmulțirea cu un număr. Bunica îi dublează Anei economiile: $(2f)(x) = 2 \cdot f(x) = 20x + 60$.

Produsul. $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$. Exemplul din manual: $f(x) = x$ și $g(x) = x^2 - 2$, pe $(0, \infty)$, dau

Câtul se face tot valoare cu valoare: $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$. Dar la împărțire există o capcană: nu putem împărți la 0.

Exemplul din manual: $f(x) = x + 3$ și $g(x) = x^2 - 4$. Unde se anulează $g$?

Manualul ia $f(x) = \left(\frac{3x + 1}{2}\right)^2$. Cum calculezi $f(1)$? În două etape: întâi paranteza, $\frac{3 \cdot 1 + 1}{2} = 2$, apoi ridici la pătrat: $2^2 = 4$.

Fiecare etapă e o funcție: $f_1(x) = \frac{3x + 1}{2}$, apoi $f_2(x) = x^2$. Ieșirea primei funcții intră în a doua, ca la o bandă cu două mașini:

Vrei o pereche de pantofi care costă $x$ lei. Ai două reduceri și le poți folosi pe amândouă, dar vânzătorul te întreabă în ce ordine:

• reducerea de 20%: rămâi cu 80% din preț, $f(x) = 0{,}8x$;

• voucherul de 50 de lei: $g(x) = x - 50$.

Varianta A, întâi procentul, apoi voucherul, e compunerea $g \circ f$. Pentru pantofi de 200 de lei:

Ca să calculezi $g(f(x))$, valoarea $f(x)$ trebuie să fie un număr pe care $g$ îl poate primi, adică să fie în domeniul lui $g$.

Luăm $f(x) = x - 2$ pe $\{1, 2, 3\}$ și $g(x) = \frac{1}{x}$, care nu e definită în 0:

Condițiile pe $f(x)$ se traduc în condiții pe $x$, rezolvând inecuații:

$2x - 3 < -1 \iff 2x < 2 \iff x < 1$, iar $2x - 3 \ge -1 \iff x \ge 1$.

Pe ramuri: $f(x) - 1 = 2x - 4$ și $-3(2x - 3) + 2 = -6x + 11$. Deci

$x$ crește, $f(x)$ scade, iar $g(f(x))$ crește din nou. De ce?

Fiecare funcție descrescătoare întoarce ordinea. Dacă ${x_1 < x_2}$, atunci ${f(x_1) \ge f(x_2)}$ (prima întoarcere). Pe aceste două numere aplicăm $g$, tot descrescătoare: ${g(f(x_1)) \le g(f(x_2))}$ (a doua întoarcere). Două întoarceri readuc ordinea inițială, deci $g \circ f$ e crescătoare.

O funcție crescătoare păstrează ordinea. Așa că poți urmări ordinea pas cu pas, prin fiecare funcție.

Fiind date două funcții numerice $f, g\colon D \to \mathbb{R}$, $D \subset \mathbb{R}$:

suma funcțiilor $f$ și $g$ este $(f + g)\colon D \to \mathbb{R}$, $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$, $\forall x \in D$;

produsul funcțiilor $f$ și $g$ este $(f \cdot g)\colon D \to \mathbb{R}$, $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$, $\forall x \in D$;

dacă $a \in \mathbb{R}$, funcția $af\colon D \to \mathbb{R}$, $(af)(x) = a \cdot f(x)$, este produsul dintre funcția constantă $a$ și $f$;

dacă $D_1$ este submulțimea lui $D$ pe care $g$ nu se anulează, câtul funcțiilor este $\frac{f}{g}\colon D_1 \to \mathbb{R}$, $\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$, $\forall x \in D_1$.

Dacă $f$ și $g$ au domenii diferite, dar nedisjuncte, suma, produsul și câtul se definesc pe intersecția domeniilor.

Compunerea. Fie $A$, $B$, $C$ trei mulțimi nevide și funcțiile $f\colon A \to B$, $g\colon B \to C$. Funcția $h\colon A \to C$, $h(x) = g(f(x))$, $\forall x \in A$, se numește compusa lui $g$ cu $f$ și se notează $g \circ f$. Operația „$\circ$” se numește compunerea funcțiilor.

Compunerea nu este comutativă: în general, $g \circ f \ne f \circ g$.

Asociativitatea: pentru $f\colon A \to B$, $g\colon B \to C$, $h\colon C \to D$, avem $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$, așa că scriem simplu $h \circ g \circ f$, cu $(h \circ g \circ f)(x) = h(g(f(x)))$.

Funcția identică a mulțimii $A$ este $1_A\colon A \to A$, $1_A(x) = x$, $\forall x \in A$. Pentru $f\colon A \to B$: $f \circ 1_A = f$ și $1_B \circ f = f$; dacă $A = B$, $f \circ 1_A = 1_A \circ f = f$.

Monotonia compusei (problema rezolvată 2, p. 81): dacă $f, g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sunt (strict) monotone, atunci $g \circ f$ și $f \circ g$ sunt (strict) monotone, după regula: