Paritate și convexitate

Pasul 1 din 12

Aceeași valoare în $x$ și în $-x$

Calculăm câteva valori ale funcției

f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = x^2

, în numere opuse:

$x$	$f(x)$	$-x$	$f(-x)$
$1$	$1$	$-1$	$1$
$2$	$4$	$-2$	$4$
$3$	$9$	$-3$	$9$

Numerele opuse au aceeași valoare. Pe grafic, punctele

A(2, 4)

și

A'(-2, 4)

sunt la aceeași înălțime, unul oglinda celuilalt față de axa

Oy

Dacă îndoi foaia după axa $Oy$ , cele două jumătăți ale graficului se suprapun.

O funcție la care $f(-x) = f(x)$ pentru orice $x$ din domeniu se numește pară. Graficul ei e simetric față de axa $Oy$ .

Manualul (p. 74) dă un voltaj stabil, $f\colon [-5, 5] \to \mathbb{R}$ , $f(x) = x^2 + 4$ . Ca să arăți că e pară, nu ajung câteva valori: calculezi $f(-x)$ pentru un $x$ oarecare.

\begin{aligned} f(-x) &= (-x)^2 + 4 \\ &= x^2 + 4 = f(x) \end{aligned}

pentru orice

x \in [-5, 5]

: voltajul e același cu

x

secunde înainte și după momentul

x = 0

Verifică-te

Care dintre funcțiile

f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

de mai jos este pară?

Valori opuse: funcții impare

Al doilea voltaj din manual oscilează:

g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

g(x) = x^3 - x

$x$	$g(x)$	$-x$	$g(-x)$
$2$	$6$	$-2$	$-6$
$0{,}5$	$-0{,}375$	$-0{,}5$	$0{,}375$

Acum numerele opuse au valori opuse. Algebric, pentru orice

x

\begin{aligned} g(-x) &= (-x)^3 - (-x) \\ &= -x^3 + x \\ &= -(x^3 - x) = -g(x) \end{aligned}

$B(2, 6)$ și $B'(-2, -6)$ sunt simetrice față de origine: $O$ e mijlocul segmentului $BB'$ .

Dacă rotești graficul cu

180^\circ

în jurul lui

O

, ajunge peste el însuși. O funcție la care

f(-x) = -f(x)

pentru orice

x

din domeniu se numește impară; graficul ei e simetric față de origine.

Verifică-te

Pentru

g(x) = x^3 - x

, știm că

g(4) = 60

. Cât este

g(-4)

Domeniul trebuie să fie simetric

Manualul (p. 74) dă și funcția

h\colon [-2, 3] \to \mathbb{R}

h(x) = x^2

. Are aceeași formulă ca

f

din primul pas. Este pară?

Graficul se oprește în $x = -2$ : oglinda lui $(3, 9)$ , punctul gol $(-3, 9)$ , nu e pe grafic.

h(3) = 9

, dar

h(-3)

nu există:

-3

nu e în domeniu. Condiția „

h(-x) = h(x)

pentru orice

x

din domeniu” cade deja la

x = 3

. Deci

h

nu e pară, și din același motiv nici impară, deși formula ei e

x^2

Verifică-te

Pentru care domeniu

D

este funcția

f\colon D \to \mathbb{R}

f(x) = |x|

, pară?

Nici pară, nici impară

Cele mai multe funcții nu sunt nici pare, nici impare. Exemplul din manual (p. 74):

f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = x^2 - x

. Domeniul

\mathbb{R}

e simetric, deci comparăm valorile în

1

și

-1

\begin{aligned} f(1) &= 1 - 1 = 0 \\ f(-1) &= 1 + 1 = 2 \end{aligned}

Oglinda lui $P(1, 0)$ față de $Oy$ ar fi $(-1, 0)$ , dar graficul trece prin $Q(-1, 2)$ .

f(-1) \ne f(1)

, deci

f

nu e pară.

f(-1) \ne -f(1) = 0

, deci nu e nici impară. Ajunge un singur

x

pentru care egalitatea nu are loc: un contraexemplu, ca în capitolul 1.

Verifică-te

Ce este funcția

f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = x^3 + 1

Convexă: graficul stă sub coardă

Alegem două puncte pe graficul lui

f(x) = x^2

A(-1, 1)

și

B(2, 4)

, și le unim cu un segment. Un segment care unește două puncte ale graficului se numește coardă.

Între $A$ și $B$ , graficul (linia plină) stă sub coardă (linia punctată).

La mijloc, în $x = 0{,}5$ : coarda trece prin $M$ , la înălțimea $(1 + 4) : 2 = 2{,}5$ , iar graficul prin $N$ , la $0{,}5^2 = 0{,}25$ .

Oricum ai alege cele două puncte pe grafic, între ele graficul stă sub coardă. Graficul are forma unei văi $\cup$ , iar funcția se numește convexă.

Concavă: graficul stă deasupra coardei

Răsturnăm parabola:

f(x) = 4 - x^2

. Coarda dintre

A(-1, 3)

și

B(2, 0)

trece acum pe sub grafic. În

x = 0{,}5

, coarda e la

(3 + 0) : 2 = 1{,}5

, iar graficul la

4 - 0{,}25 = 3{,}75

Între $A$ și $B$ , graficul stă deasupra coardei.

Graficul are forma unei bolți $\cap$ (un „munte”), iar funcția se numește concavă.

O funcție de forma $f(x) = ax + b$ e și convexă, și concavă: graficul ei e o dreaptă, deci coincide cu orice coardă (manualul, p. 76).

Verifică-te

Ce fel de funcție este

f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = |x|

Curbura se poate schimba

Manualul (p. 76) dă funcția

f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}

f(x) = x^3 - 3x + 1

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$2$
$f(x)$	$-1$	$3$	$1$	$3$

Coarda $AB$ e desenată punctat.

[-2, 0]

: coarda

AB

trece prin

(-1, 0)

, iar graficul prin

(-1, 3)

, mai sus. Graficul e deasupra coardei, deci

f

e concavă pe

[-2, 0]

. Dar pe

[0, 2]

Verifică-te

Coarda

BC

, de la

B(0, 1)

C(2, 3)

, trece prin

(1, 2)

. Ce este

f

pe intervalul

[0, 2]

Studiu de caz: traficul de la ora de vârf

Într-un oraș, senzorii măsoară indicele de congestie

f(t)

pe un bulevard, în procente (

0\%

= drum liber,

100\%

= blocaj total). Timpul

t

e măsurat în ore față de ora de vârf, 17:00 (

t = 0

), între 14:00 (

t = -3

) și 20:00 (

t = 3

). Modelul din manual (p. 75) dă

f(t)

pe trei ramuri:

\begin{cases} 10t + 70, & t \in [-3, -2] \\ -5t^2 + 70, & t \in (-2, 2) \\ -10t + 70, & t \in [2, 3] \end{cases}

Pe orizontală, $t$ (ore față de 17:00); pe verticală, indicele $f(t)$ , în $\%$ . Ramura din mijloc e o bucată de parabolă.

Ca să calculezi o valoare, alegi întâi ramura: cea care conține

t

-ul dat.

Verifică-te

Cât este

f(-1)

, indicele de congestie la ora 16:00?

De ce funcționează?

De ce e pară funcția traficului?

Domeniul $[-3, 3]$ e simetric față de origine. Verificăm $f(-t) = f(t)$ pe fiecare ramură; $-t$ cade pe ramura „în oglindă”.

Dacă $t \in (-2, 2)$ , atunci și $-t \in (-2, 2)$ :

\begin{aligned} f(-t) &= -5(-t)^2 + 70 \\ &= -5t^2 + 70 = f(t) \end{aligned}

Dacă

t \in [2, 3]

, atunci

-t \in [-3, -2]

, deci pentru

-t

folosim prima ramură:

\begin{aligned} f(-t) &= 10(-t) + 70 \\ &= -10t + 70 = f(t) \end{aligned}

Pentru

t \in [-3, -2]

e la fel, cu ramurile schimbate între ele:

\begin{aligned} f(-t) &= -10(-t) + 70 \\ &= 10t + 70 = f(t) \end{aligned}

Deci

f(-t) = f(t)

pentru orice

t \in [-3, 3]

f

e pară, iar graficul e simetric față de axa verticală.

Când crește, când scade, ce valori ia

Pe fiecare ramură, monotonia se vede din lege (sau din grafic). Ramura din mijloc e o parabolă cu vârful în

(0, 70)

: urcă până la vârf, apoi coboară.

Interval	Legea	Monotonia
$[-3, -2]$	$10t + 70$	crește
$(-2, 0]$	$-5t^2 + 70$	crește
$[0, 2)$	$-5t^2 + 70$	scade
$[2, 3]$	$-10t + 70$	scade

Pe ramurile drepte decide coeficientul lui

t

10 > 0

(crește) și

-10 < 0

(scade). Deci

f

e strict crescătoare pe

[-3, 0]

și strict descrescătoare pe

[0, 3]

: traficul crește continuu de la 14:00 la 17:00, apoi scade până la 20:00. Valoarea cea mai mare e la vârf:

f(0) = -5 \cdot 0^2 + 70 = 70

Verifică-te

Care este imaginea funcției,

\operatorname{Im} f

Alerta de trafic și forma graficului

Autoritățile declară „alertă de trafic” când indicele depășește

60\%

. Ramurile drepte nu trec de

50

, deci alerta poate apărea doar pe ramura din mijloc:

\begin{aligned} -5t^2 + 70 &> 60 \\ 5t^2 &< 10 \\ t^2 &< 2 \end{aligned}

deci

-\sqrt{2} < t < \sqrt{2}

Pe intervalul colorat, graficul e deasupra liniei de $60\%$ .

$\sqrt{2} \approx 1{,}41$ ore, adică aproximativ 1 oră și 25 de minute. Alerta ține de pe la 15:35 până pe la 18:25; între 14:00 și 15:35 și între 18:25 și 20:00 traficul e sub nivelul de alertă. (Manualul rotunjește $\sqrt{2}$ la $1{,}5$ și obține 15:30 și 18:30.)

Forma graficului. Ramurile de la margini sunt segmente de dreaptă: traficul crește, apoi scade, cu ritm constant. Pe $(-2, 2)$ graficul e o boltă $\cap$ , deci concav: pe măsură ce ne apropiem de 17:00, creșterea e tot mai lentă, graficul se aplatizează la vârf, apoi traficul începe să scadă.

Cum scrie manualul

Se consideră funcția numerică $f\colon D \to \mathbb{R}$ .

Condiție esențială: domeniul de definiție $D \subset \mathbb{R}$ trebuie să fie simetric față de origine (pentru $\forall x \in D$ , $-x \in D$ ).

$f$ funcție pară: $\forall x \in D$ , $f(-x) = f(x)$ . Graficul este simetric față de axa $Oy$ .

$f$ funcție impară: $\forall x \in D$ , $f(-x) = -f(x)$ . Graficul este simetric față de originea $O$ .

Se consideră funcția $f\colon I \to \mathbb{R}$ , unde $I$ este un interval de numere reale.

Spunem că $f$ este convexă pe intervalul $I$ dacă, pentru orice două puncte $A$ și $B$ de pe graficul funcției, porțiunea de grafic cuprinsă între $A$ și $B$ se situează sub segmentul $AB$ sau pe segmentul $AB$ . Vizual, graficul are formă de „vale” $\cup$ .

Spunem că $f$ este concavă pe intervalul $I$ dacă, pentru orice două puncte $A$ și $B$ de pe grafic, porțiunea de grafic cuprinsă între $A$ și $B$ se situează deasupra segmentului $AB$ sau pe segmentul $AB$ . Vizual, graficul are formă de „munte” sau „boltă” $\cap$ .

Infograficul de pe p. 74 scrie convexitatea și cu inegalități (pentru concavă, semnul se inversează):

\begin{aligned} &f\big(tx_1 + (1 - t)x_2\big) \\ &\quad \le t f(x_1) + (1 - t) f(x_2), \\ &\forall x_1, x_2 \in I,\ t \in [0, 1] \end{aligned}

Pentru

t = \frac{1}{2}

f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) \le \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}

, adică mijlocul coardei nu e sub grafic: e deasupra lui sau pe el (punctele

M

și

N

de mai devreme).

Punct de inflexiune: punctul de pe grafic în care funcția își schimbă curbura (manualul, p. 75). Observații (p. 76):

f(x) = ax + b

e și convexă, și concavă;

f(x) = x^3 - 3x + 1

nu e nici convexă, nici concavă pe

\mathbb{R}

, dar e concavă pe

(-\infty, 0)

și convexă pe

(0, \infty)

Paritate și convexitate

Aceeași valoare în xxx și în −x-x−x

Valori opuse: funcții impare

Domeniul trebuie să fie simetric

Nici pară, nici impară

Convexă: graficul stă sub coardă

Concavă: graficul stă deasupra coardei

Curbura se poate schimba

Studiu de caz: traficul de la ora de vârf

De ce e pară funcția traficului?

Când crește, când scade, ce valori ia

Alerta de trafic și forma graficului

Cum scrie manualul

Aceeași valoare în $x$ și în $-x$