Manual · pagina 96

Exercițiul 1 · Bijectivă sau nu, pe grafic

Care dintre următoarele funcții definite pe $\mathbb R$ cu valori în $\mathbb R$ sunt bijective? Justifică prin reprezentare grafică, folosind o aplicație digitală:

a) $f(x) = -3x + 5$ ;

b) $g(x) = x^3$ ;

c) $h(x) = |x|$ .

a) $f(x) = -3x + 5$

Desenează graficul și trasează câteva drepte orizontale. De câte ori taie fiecare dintre ele graficul?

1. Ce înseamnă bijectivă
Funcție bijectivă (manual, p. 94–95)
$f\colon A \to B$ este bijectivă dacă este și injectivă, și surjectivă. Echivalent (teorema de la p. 94): pentru orice $y \in B$ , ecuația $f(x) = y$ are exact o soluție $x \in A$ .
Pe grafic: orice dreaptă orizontală $y = k$ , cu $k$ din codomeniu, taie graficul într-un singur punct.
Graficul lui $f$ este o dreaptă, deci ajung două puncte ca să-l desenăm. Din $f(0) = 5$ avem punctul $(0, 5)$ . Al doilea punct, la $x = 2$ :
Verifică-te
Cât este $f(2)$ ?
2. Dreptele orizontale
Luăm o dreaptă orizontală, de exemplu $y = 2$ . Punctul în care taie graficul are abscisa $x$ cu $f(x) = 2$ .
Verifică-te
Ce $x$ verifică $-3x + 5 = 2$ ?
Graficul lui $f$ coboară tot timpul și nu are goluri: fiecare dreaptă orizontală îl taie exact o dată. Aici ${y = 2}$ în ${x = 1}$ și ${y = -2}$ în ${x = \frac73}$ .
3. Pentru un $y$ oarecare
Desenul arată câteva drepte; ca să fim siguri pentru toate, repetăm calculul cu litera $y$ :
$\begin{aligned} & {-3x} + 5 = y \\ \iff {} & {-3x} = y - 5 \\ \iff {} & x = \frac{5 - y}{3} \end{aligned}$
Verifică-te
Pentru ce valori ale lui $y$ ecuația $f(x) = y$ are o soluție $x \in \mathbb R$ ?
Ecuația $f(x) = y$ are exact o soluție pentru orice $y \in \mathbb R$ , deci $f$ este bijectivă. Se vede și din monotonie: $f$ este strict descrescătoare, deci injectivă (manual, p. 85).

Răspuns

f

este bijectivă: pentru orice

y \in \mathbb R

, ecuația

f(x) = y

are soluția unică

x = \dfrac{5 - y}{3}

b) $g(x) = x^3$

Fă un tabel de valori, cu

x

și negativ, și pozitiv. Cubul unui număr negativ este negativ: ce înseamnă asta pentru dreptele orizontale de sub axa

Ox

1. Un tabel de valori
Bijectivă înseamnă (manual, p. 94–95): orice dreaptă orizontală $y = k$ taie graficul exact o dată. Ca să desenăm graficul, calculăm câteva valori.
Verifică-te
Cât este $g(-2) = (-2)^3$ ?
$x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$
$x^3$ $-8$ $-1$ $0$ $1$ $8$
2. Graficul și dreptele orizontale
Pe o dreaptă orizontală sub axa $Ox$ , de exemplu $y = -1$ , căutăm $x$ cu $x^3 = -1$ .
Verifică-te
Câte soluții reale are ecuația $x^3 = -1$ ?
Graficul lui $g$ urcă tot timpul, fără goluri, de jos până sus. Orice dreaptă orizontală îl taie exact o dată: ${y = 4}$ într-un $x$ între $1$ și $2$ , ${y = -6}$ într-un $x$ între $-2$ și $-1$ .
3. De ce merge pentru orice dreaptă
Cel mult o dată (injectivă). Dacă $a < b$ , atunci $a^3 < b^3$ : $g$ este strict crescătoare, deci injectivă (manual, p. 85). Din gimnaziu, $b^3 - a^3 = (b - a)(a^2 + ab + b^2)$ , iar al doilea factor este pozitiv când $a \ne b$ , fiindcă se scrie ca o sumă de pătrate:
$a^2 + ab + b^2 = \left(a + \frac b2\right)^2 + \frac{3b^2}{4}$
Cel puțin o dată (surjectivă). Curba nu are goluri și urcă oricât de sus și coboară oricât de jos, deci întâlnește orice dreaptă $y = k$ . Numărul $x$ cu $x^3 = k$ se notează $\sqrt[3]{k}$ (rădăcina de ordinul 3, din capitolul 3C), de exemplu $\sqrt[3]{8} = 2$ .
Verifică-te
Care este soluția ecuației $x^3 = -27$ ?
Deci $g$ este injectivă și surjectivă: $g$ este bijectivă.

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$x^3$	$-8$	$-1$	$0$	$1$	$8$

Răspuns

g

este bijectivă: graficul este strict crescător și fără goluri, deci orice dreaptă orizontală îl taie exact o dată.

c) $h(x) = |x|$

Câte numere au modulul egal cu

2

? Și există vreun număr cu modulul

-1

1. O dreaptă deasupra axei $Ox$
Bijectivă înseamnă (manual, p. 94–95): orice dreaptă orizontală $y = k$ , cu $k$ din codomeniul $\mathbb R$ , taie graficul exact o dată. Încercăm dreapta $y = 2$ : căutăm $x$ cu $|x| = 2$ .
Verifică-te
Câte soluții are ecuația $|x| = 2$ ?
Deci dreapta $y = 2$ taie graficul de două ori: $h(-2) = h(2)$ , cu $-2 \ne 2$ . Funcția $h$ nu este injectivă.
2. O dreaptă sub axa $Ox$
Codomeniul este tot $\mathbb R$ , deci trebuie să ne uităm și la dreptele de sub axa $Ox$ , de exemplu $y = -1$ .
Verifică-te
Câte soluții are ecuația $|x| = -1$ ?
Dreapta $y = 2$ taie graficul de două ori, iar dreapta ${y = -2}$ niciodată: graficul stă deasupra axei $Ox$ .
Numerele negative din codomeniu, ca $-1$ sau $-2$ , nu sunt imagini ale niciunui $x$ , deci $h$ nu este nici surjectivă. Așadar $h$ nu este bijectivă; era suficientă una dintre cele două observații.

Răspuns

h

nu este bijectivă: nu este injectivă (

h(-2) = h(2) = 2

) și nici surjectivă (

|x| = -1

nu are soluții).

Exercițiul 1 · Bijectivă sau nu, pe grafic

a)f(x)=−3x+5f(x) = -3x + 5f(x)=−3x+5

1. Ce înseamnă bijectivă ✓

2. Dreptele orizontale ✓

3. Pentru un yyy oarecare ✓

b)g(x)=x3g(x) = x^3g(x)=x3

1. Un tabel de valori ✓

2. Graficul și dreptele orizontale ✓

3. De ce merge pentru orice dreaptă ✓

c)h(x)=∣x∣h(x) = |x|h(x)=∣x∣

1. O dreaptă deasupra axei OxOxOx ✓

2. O dreaptă sub axa OxOxOx ✓

a) $f(x) = -3x + 5$

1. Ce înseamnă bijectivă

2. Dreptele orizontale

3. Pentru un $y$ oarecare

b) $g(x) = x^3$

1. Un tabel de valori

2. Graficul și dreptele orizontale

3. De ce merge pentru orice dreaptă

c) $h(x) = |x|$

1. O dreaptă deasupra axei $Ox$

2. O dreaptă sub axa $Ox$