MateClar
← Capitol

Manual · pagina 96

Exercițiul 10 · O funcție definită diferit pe Q\mathbb Q și pe R∖Q\mathbb R \setminus \mathbb Q

Demonstrează că f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R,

f(x)={x,x∈Qax,x∈R∖Qf(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb Q \\ ax, & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}

este bijectivă dacă și numai dacă a∈R∖Qa \in \mathbb R \setminus \mathbb Q.

Demonstrează că f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R,

f(x)={x,x∈Qax,x∈R∖Qf(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb Q \\ ax, & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}

este bijectivă dacă și numai dacă a∈R∖Qa \in \mathbb R \setminus \mathbb Q.

Încearcă întâi un aa irațional, de exemplu a=2a = \sqrt2, și calculează f(12)f\left(\frac1{\sqrt2}\right). Apoi un aa rațional nenul: în ce mulțime ajung numerele raționale, și în ce mulțime cele iraționale?

  1. 1. Cum lucrează funcția

    Pentru fiecare xx te uiți întâi dacă este rațional sau irațional, apoi aplici legea potrivită. Numerele raționale rămân pe loc; numerele iraționale se înmulțesc cu aa.

    De exemplu, pentru a=2a = 2: f(3)=3f(3) = 3 și f(3)=23f(\sqrt3) = 2\sqrt3.

    Verifică-te

    Pentru a=2a = 2, cât este f(12)f\left(\frac12\right)?

  2. 2. Un aa irațional: a=2a = \sqrt2

    Numărul 12\frac1{\sqrt2} este irațional, deci i se aplică legea axax.

    Verifică-te

    Pentru a=2a = \sqrt2, cât este f(12)f\left(\frac1{\sqrt2}\right)?
    R\mathbb R
    R\mathbb R
    ff
    11
    12\tfrac1{\sqrt2}
    2\sqrt2
    11
    22

    Pentru a=2a = \sqrt2: 11 (rațional) și 12\frac1{\sqrt2} (irațional) ajung amândouă în 11.

    Dar și f(1)=1f(1) = 1, pentru că 11 este rațional. Deci f(12)=f(1)f\left(\frac1{\sqrt2}\right) = f(1), deși 12≠1\frac1{\sqrt2} \ne 1: ff nu este injectivă.

    La fel pentru orice aa irațional: 1a\frac1a este irațional (dacă ar fi rațional, ar fi rațional și inversul lui, care este aa), 1a≠1\frac1a \ne 1 și f(1a)=a⋅1a=1=f(1)f\left(\frac1a\right) = a \cdot \frac1a = 1 = f(1). Deci pentru a∈R∖Qa \in \mathbb R \setminus \mathbb Q, ff nu este bijectivă, exact invers față de enunț.

  3. 3. a=0a = 0 și apoi aa rațional nenul

    Pentru a=0a = 0, toate numerele iraționale ajung în 00: f(2)=0=f(0)f(\sqrt2) = 0 = f(0), deci ff nu este injectivă.

    Fie acum a∈Qa \in \mathbb Q, a≠0a \ne 0, și y∈Ry \in \mathbb R. Rezolvăm f(x)=yf(x) = y.

    Dacă yy este rațional: un xx irațional dă axax irațional, deci nu poate da yy. Rămân xx raționali, pentru care f(x)=x=yf(x) = x = y. Singura soluție este x=yx = y.

    Dacă yy este irațional: un xx rațional dă f(x)=xf(x) = x, deci ar trebui x=yx = y, imposibil, pentru că yy e irațional. Rămân xx iraționali, pentru care ecuația devine ax=yax = y.

    Verifică-te

    Pentru a=2a = 2, ce xx verifică f(x)=2f(x) = \sqrt2?
    În general, ax=yax = y dă x=yax = \frac ya, care este irațional (produsul dintre 1a∈Q∗\frac1a \in \mathbb Q^* și yy), deci folosește într-adevăr legea axax. Singura soluție este x=yax = \frac ya.

  4. 4. Concluzia

    Pentru a∈Q∗=Q∖{0}a \in \mathbb Q^* = \mathbb Q \setminus \{0\}, ecuația f(x)=yf(x) = y are exact o soluție pentru orice y∈Ry \in \mathbb R, deci ff este bijectivă. Pentru a=0a = 0 și pentru aa irațional, ff nu este injectivă, deci nu este bijectivă.

    Așadar ff este bijectivă dacă și numai dacă a∈Q∗a \in \mathbb Q^*, nu a∈R∖Qa \in \mathbb R \setminus \mathbb Q, cum scrie în enunț.

Răspuns
ff este bijectivă dacă și numai dacă a∈Q∗=Q∖{0}a \in \mathbb Q^* = \mathbb Q \setminus \{0\}. Pentru aa irațional, f(1a)=f(1)=1{f\left(\frac1a\right) = f(1) = 1}, deci ff nu este injectivă; afirmația din enunț, cu a∈R∖Qa \in \mathbb R \setminus \mathbb Q, este falsă.