Manual · pagina 96

Exercițiul 11 · Funcții strict crescătoare pe o mulțime finită

Se consideră

A \subset \mathbb R

o mulțime finită și

f : A \to A

o funcție strict crescătoare. Arată că

f

este bijectivă.

Se consideră $A \subset \mathbb R$ o mulțime finită și $f : A \to A$ o funcție strict crescătoare. Arată că $f$ este bijectivă.

Injectivitatea vine din monotonie. Pentru surjectivitate numără: câte elemente diferite are imaginea

f(A)

și câte are

A

?

1. Ce avem de arătat
Strict crescătoare (manual, p. 70) și bijectivă (manual, p. 94)
$f$ este strict crescătoare dacă pentru orice $x_1, x_2$ din domeniu, $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ .
$f$ este bijectivă dacă este injectivă și surjectivă.
Avem deci de arătat două lucruri. Le arătăm pe rând.
Injectivitatea. Fie $x_1 \ne x_2$ în $A$ , de exemplu $x_1 < x_2$ (altfel le schimbăm numele). Din monotonie, $f(x_1) < f(x_2)$ , deci $f(x_1) \ne f(x_2)$ . Așadar $f$ este injectivă. Este observația din manual: orice funcție strict monotonă este injectivă (manual, p. 85).
2. Surjectivitatea, prin numărare
Scriem elementele lui $A$ în ordine crescătoare: $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$ . Din monotonie,
$f(a_1) < f(a_2) < \ldots < f(a_n).$
Toate aceste imagini sunt elemente ale lui $A$ , pentru că $f : A \to A$ .
Verifică-te
De ce imaginea ${f(A) = \{f(a_1), \ldots, f(a_n)\}}$ este chiar $A$ ?
Deci $f$ este și injectivă, și surjectivă, adică bijectivă.
3. Un exemplu și o surpriză
Fie $A = \{1, 3, 4, 7\}$ . O funcție strict crescătoare $f : A \to A$ are patru imagini $f(1) < f(3) < f(4) < f(7)$ , toate din $A$ .
Verifică-te
Cât este $f(4)$ ?
Singura funcție strict crescătoare de la $A$ la $A$ : fiecare element merge în el însuși.
La fel în general: $f(a_k) = a_k$ pentru fiecare $k$ , deci singura funcție strict crescătoare $f : A \to A$ este funcția identică $1_A$ , care este, desigur, bijectivă.

Răspuns

Fiind strict crescătoare,

f

este injectivă. Dacă

A = \{a_1 < \ldots < a_n\}

, imaginile

f(a_1) < \ldots < f(a_n)

sunt

n

elemente diferite ale lui

A

, deci

f(A) = A

și

f

este surjectivă. Așadar

f

este bijectivă (de fapt,

f

este funcția identică).