MateClar
← Capitol

Manual · pagina 96

Exercițiul 12 · Bijectivitate și compunere

Se consideră funcțiile f:A→Bf : A \to B și g:B→Cg : B \to C. Justifică faptul că:

a) dacă ff și gg sunt bijective, atunci g∘fg \circ f este bijectivă;

b) dacă g∘fg \circ f este bijectivă, atunci ff este injectivă și gg este surjectivă.

a)Dacă ff și gg sunt bijective, atunci g∘fg \circ f este bijectivă.

Arată separat injectivitatea și surjectivitatea lui g∘fg \circ f. La injectivitate „dezlipește” întâi funcția din exterior, gg; la surjectivitate pornește de la un z∈Cz \in C și mergi înapoi, întâi prin gg, apoi prin ff.

  1. 1. Compunerea, pe o diagramă

    Pe diagramă urmezi două săgeți la rând. Aici ff și gg sunt bijective: în fiecare element din BB și din CC intră exact o săgeată.
    AA
    BB
    CC
    ff
    gg
    11
    22
    33
    aa
    bb
    cc
    xx
    yy
    zz

    Verifică-te

    Cât este (g∘f)(1)(g \circ f)(1)?
    Pe exemplu, g∘fg \circ f duce 1↦z1 \mapsto z, 2↦x2 \mapsto x, 3↦y3 \mapsto y: este bijectivă. Arătăm că așa se întâmplă mereu.

  2. 2. g∘fg \circ f este injectivă

    Fie x1,x2∈Ax_1, x_2 \in A cu (g∘f)(x1)=(g∘f)(x2)(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2), adică g(f(x1))=g(f(x2))g(f(x_1)) = g(f(x_2)). Vrem să ajungem la x1=x2x_1 = x_2.

    Verifică-te

    Ce proprietate folosești la primul pas?
    Apoi, din f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) și injectivitatea lui ff, rezultă x1=x2x_1 = x_2. Deci g∘fg \circ f este injectivă.

  3. 3. g∘fg \circ f este surjectivă și concluzia

    Fie z∈Cz \in C oarecare. Căutăm x∈Ax \in A cu g(f(x))=zg(f(x)) = z. Mergem înapoi pe săgeți.

    Cum gg este surjectivă, există y∈By \in B cu g(y)=zg(y) = z. Cum ff este surjectivă, există x∈Ax \in A cu f(x)=yf(x) = y. Atunci (g∘f)(x)=g(f(x))=g(y)=z(g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(y) = z.

    Deci g∘fg \circ f este surjectivă. Este proprietatea din manual: compunerea a două funcții surjective este surjectivă (manual, p. 91).

    Fiind injectivă și surjectivă, g∘fg \circ f este bijectivă.

Răspuns
Injectivă: din g(f(x1))=g(f(x2)){g(f(x_1)) = g(f(x_2))} rezultă f(x1)=f(x2){f(x_1) = f(x_2)} (gg injectivă), deci x1=x2{x_1 = x_2} (ff injectivă). Surjectivă: pentru z∈Cz \in C există y∈By \in B cu g(y)=zg(y) = z și x∈Ax \in A cu f(x)=yf(x) = y, deci (g∘f)(x)=z(g \circ f)(x) = z. Deci g∘fg \circ f este bijectivă.

b)Dacă g∘fg \circ f este bijectivă, atunci ff este injectivă și gg este surjectivă.

Pentru ff: pornește de la f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2) și aplică gg ambilor membri. Pentru gg: un z∈Cz \in C este atins de g∘fg \circ f; ce element din BB este dus de gg în zz?

  1. 1. ff este injectivă

    Fie x1,x2∈Ax_1, x_2 \in A cu f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2). Vrem x1=x2x_1 = x_2. Singura informație pe care o avem este despre g∘fg \circ f, deci trebuie să ajungem la o egalitate cu g∘fg \circ f.

    Verifică-te

    Ce faci cu egalitatea f(x1)=f(x2)f(x_1) = f(x_2)?
    Deci f(x1)=f(x2)⇒x1=x2f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2: ff este injectivă.

  2. 2. gg este surjectivă

    Fie z∈Cz \in C. Cum g∘fg \circ f este surjectivă, există x∈Ax \in A cu g(f(x))=zg(f(x)) = z. Căutăm un element din BB pe care gg îl duce în zz.

    Verifică-te

    Ce element din BB are imaginea zz prin gg?
    Așadar gg este surjectivă.

  3. 3. Mai mult nu se poate spune

    Concluzia nu poate fi întărită la „ff și gg sunt bijective”. Iată un exemplu cu A={1}A = \{1\}, B={1,2}B = \{1, 2\}, C={1}C = \{1\}, f(1)=1f(1) = 1, g(1)=g(2)=1g(1) = g(2) = 1.
    AA
    BB
    CC
    ff
    gg
    11
    11
    22
    11

    g∘f:{1}→{1}g \circ f : \{1\} \to \{1\} este bijectivă.

    Verifică-te

    Ce proprietăți lipsesc în acest exemplu?
Răspuns
f(x1)=f(x2){f(x_1) = f(x_2)} implică g(f(x1))=g(f(x2)){g(f(x_1)) = g(f(x_2))}, deci x1=x2{x_1 = x_2} (pentru că g∘fg \circ f este injectivă): ff este injectivă. Pentru z∈Cz \in C există x∈Ax \in A cu g(f(x))=zg(f(x)) = z, deci f(x)∈Bf(x) \in B este o preimagine a lui zz prin gg: gg este surjectivă. În general ff nu este neapărat surjectivă, iar gg nu este neapărat injectivă.