Manual · pagina 96

Exercițiul 2 · Un parametru în funcția de gradul I

Determină

m \in \mathbb R

astfel încât funcția

f\colon \mathbb R \to \mathbb R

f(x) = (m - 1)x + 2

să fie bijectivă.

Determină $m \in \mathbb R$ astfel încât funcția $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = (m - 1)x + 2$ să fie bijectivă.

Totul depinde de coeficientul lui

x

, adică de

m - 1

. Ce se întâmplă cu funcția când acest coeficient este

0

1. Cazul în care dispare termenul cu $x$
Funcție bijectivă (manual, p. 94)
$f\colon A \to B$ este bijectivă dacă este injectivă și surjectivă, adică dacă pentru orice $y \in B$ ecuația $f(x) = y$ are exact o soluție $x \in A$ .
Legea are forma $ax + 2$ , cu coeficientul $a = m - 1$ . Acest coeficient poate fi și $0$ , iar atunci funcția arată cu totul altfel. Începem cu acest caz, $m = 1$ .
Verifică-te
Ce devine $f(x)$ pentru $m = 1$ ?
Pentru $m = 1$ graficul este dreapta orizontală $y = 2$ . Ecuația $f(x) = 2$ are o infinitate de soluții (orice $x$ ), deci $f$ nu este injectivă, iar $f(x) = 3$ nu are nicio soluție, deci $f$ nu este nici surjectivă.
Așadar $m = 1$ nu convine.
2. Cazul $m \ne 1$
Acum coeficientul $m - 1$ nu este $0$ , deci putem împărți la el. Rezolvăm $f(x) = y$ pentru un $y$ oarecare:
$\begin{aligned} (m - 1)x + 2 &= y \\ (m - 1)x &= y - 2 \\ x &= \frac{y - 2}{m - 1} \end{aligned}$
Pentru fiecare $y \in \mathbb R$ ecuația are exact o soluție reală, deci $f$ este bijectivă. Să încercăm pe un exemplu, $m = 3$ , adică $f(x) = 2x + 2$ :
Verifică-te
Pentru $m = 3$ , ce soluție are ecuația $f(x) = 6$ ?
Toate dreptele trec prin $(0, 2)$ . Pentru $m \ne 1$ dreapta este oblică și orice orizontală o taie o dată; pentru ${m = 1}$ ea este chiar orizontală.
3. Concluzia
Funcția este bijectivă pentru orice $m$ cu $m - 1 \ne 0$ . Atenție la diferența dintre $m$ și coeficientul $m - 1$ :
Verifică-te
Este $f$ bijectivă pentru $m = 0$ ?
Deci $f$ este bijectivă exact pentru $m \in \mathbb R \setminus \{1\}$ .

Răspuns

m \in \mathbb R \setminus \{1\}

Exercițiul 2 · Un parametru în funcția de gradul I

Determină m∈Rm \in \mathbb Rm∈R astfel încât funcția f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)=(m−1)x+2f(x) = (m - 1)x + 2f(x)=(m−1)x+2 să fie bijectivă.

1. Cazul în care dispare termenul cu xxx ✓

2. Cazul m≠1m \ne 1m=1 ✓

3. Concluzia ✓

Determină $m \in \mathbb R$ astfel încât funcția $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = (m - 1)x + 2$ să fie bijectivă.

1. Cazul în care dispare termenul cu $x$

2. Cazul $m \ne 1$

3. Concluzia