Manual · pagina 96

Exercițiul 3 · Câte bijecții cu $f(1) = 2$

(Activitate în pereche) Se consideră mulțimea

A = \{1, 2, 3, 4\}

. Câte funcții bijective

f\colon A \to A

pot fi construite astfel încât

f(1) = 2

? Reflectați întâi individual asupra strategiei de rezolvare, apoi discutați în pereche și finalizați împreună raționamentul.

Se consideră mulțimea $A = \{1, 2, 3, 4\}$ . Câte funcții bijective $f\colon A \to A$ pot fi construite astfel încât $f(1) = 2$ ?

Valoarea

f(1)

este deja fixată. Câte variante rămân pentru

f(2)

? Dar pentru

f(3)

, după ce ai ales

f(2)

1. Ce înseamnă bijectivă pe o mulțime finită
Funcție bijectivă (manual, p. 94)
$f\colon A \to B$ este bijectivă dacă fiecare element din $B$ este imaginea exact unui element din $A$ : injectivă (cel mult unul) și surjectivă (cel puțin unul).
Pe o diagramă cu săgeți: în fiecare element din dreapta intră exact o săgeată. Aici avem $4$ săgeți (câte una din $1, 2, 3, 4$ ) și $4$ ținte, deci valorile $f(1), f(2), f(3), f(4)$ sunt numerele $1, 2, 3, 4$ , fiecare o dată, într-o anumită ordine.
Verifică-te
Știind că $f(1) = 2$ , poate fi $f(3) = 2$ ?
2. Alegem valorile pe rând
Strategia: completăm valorile una câte una, $f(2)$ , apoi $f(3)$ , apoi $f(4)$ , numărând de fiecare dată câte variante avem.
Verifică-te
Câte valori poate lua $f(2)$ ?
Odată ales $f(2)$ , pentru $f(3)$ rămân doar două valori libere, iar pentru $f(4)$ una singură, ultima rămasă. De exemplu:
Una dintre bijecții: $f(1) = 2$ (fixat), apoi $f(2) = 1$ , $f(3) = 4$ , $f(4) = 3$ . În fiecare element din dreapta intră exact o săgeată.
3. Numărăm toate variantele
Fiecare dintre variantele pentru $f(2)$ se poate continua în același număr de feluri pentru $f(3)$ , iar apoi $f(4)$ este determinat. Ca la numărarea codurilor sau a ținutelor, din gimnaziu, numerele de variante se înmulțesc.
Verifică-te
Câte funcții bijective cu $f(1) = 2$ există?
Le putem scrie pe toate, ca verificare:
$f(2)$ $f(3)$ , $f(4)$
$1$ $3, 4$ sau $4, 3$
$3$ $1, 4$ sau $4, 1$
$4$ $1, 3$ sau $3, 1$

$f(2)$	$f(3)$ , $f(4)$
$1$	$3, 4$ sau $4, 3$
$3$	$1, 4$ sau $4, 1$
$4$	$1, 3$ sau $3, 1$

Răspuns

Se pot construi

3 \cdot 2 \cdot 1 = 3! = 6

funcții bijective.

Exercițiul 3 · Câte bijecții cu f(1)=2f(1) = 2f(1)=2

Se consideră mulțimea A={1,2,3,4}A = \{1, 2, 3, 4\}A={1,2,3,4}. Câte funcții bijective f ⁣:A→Af\colon A \to Af:A→A pot fi construite astfel încât f(1)=2f(1) = 2f(1)=2?

1. Ce înseamnă bijectivă pe o mulțime finită ✓

2. Alegem valorile pe rând ✓

3. Numărăm toate variantele ✓

Exercițiul 3 · Câte bijecții cu $f(1) = 2$

Se consideră mulțimea $A = \{1, 2, 3, 4\}$ . Câte funcții bijective $f\colon A \to A$ pot fi construite astfel încât $f(1) = 2$ ?

1. Ce înseamnă bijectivă pe o mulțime finită

2. Alegem valorile pe rând

3. Numărăm toate variantele