Manual · pagina 96

Exercițiul 4 · $x^2 - 1$ pe $[1, \infty)$

Demonstrează că funcția

f\colon [1, \infty) \to [0, \infty)

f(x) = x^2 - 1

este bijectivă.

Demonstrează că funcția $f\colon [1, \infty) \to [0, \infty)$ , $f(x) = x^2 - 1$ este bijectivă.

Pe tot

\mathbb R

x^2 - 1

ia aceeași valoare în

x

și în

-x

. Ce schimbă faptul că domeniul conține doar numere

x \ge 1

1. Injectivitatea
Funcție bijectivă (manual, p. 94)
$f\colon A \to B$ este bijectivă dacă este injectivă (din $f(x_1) = f(x_2)$ rezultă $x_1 = x_2$ , manual, p. 85) și surjectivă (pentru orice $y \in B$ , ecuația $f(x) = y$ are cel puțin o soluție $x \in A$ , manual, p. 90).
Fie $a, b \in [1, \infty)$ cu $f(a) = f(b)$ . Atunci $a^2 - 1 = b^2 - 1$ , deci $a^2 = b^2$ . Din gimnaziu, $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ , așa că:
$(a - b)(a + b) = 0$
Verifică-te
De ce nu poate fi $a + b = 0$ ?
Deci factorul $a + b$ nu este $0$ , rămâne $a - b = 0$ , adică $a = b$ : $f$ este injectivă.
2. Surjectivitatea
Întâi, valorile chiar sunt în codomeniu: pentru $x \ge 1$ avem $x^2 \ge 1$ , deci $x^2 - 1 \ge 0$ . Acum fie $y \ge 0$ oarecare. Căutăm $x \ge 1$ cu $x^2 - 1 = y$ , adică $x^2 = y + 1$ .
Încercăm întâi $y = 3$ , adică $x^2 = 4$ .
Verifică-te
Ce soluție din domeniul $[1, \infty)$ are ecuația $f(x) = 3$ ?
La fel, pentru orice $y \ge 0$ , ecuația $x^2 = y + 1$ are soluțiile $\pm\sqrt{y + 1}$ (din gimnaziu). Cea pozitivă este în domeniu, fiindcă $y + 1 \ge 1$ :
$x = \sqrt{y + 1} \ge \sqrt1 = 1$
Deci orice $y \in [0, \infty)$ are o preimagine în $[1, \infty)$ : $f$ este surjectivă.
3. Concluzia, pe grafic
Graficul lui $f$ este partea plină, de la $(1, 0)$ în sus. Partea punctată, cu $x < 1$ , nu face parte din $f$ : acolo ar fi a doua intersecție cu ${y = 3}$ , în $x = -2$ .
Orice dreaptă orizontală $y = k$ cu $k \ge 0$ taie partea plină exact o dată (manual, p. 95). Restrângerea domeniului la $[1, \infty)$ a eliminat a doua intersecție, iar codomeniul $[0, \infty)$ conține exact valorile atinse. Deci $f$ este injectivă și surjectivă: $f$ este bijectivă.

Răspuns

f

este bijectivă: din

f(a) = f(b)

rezultă

a = b

(fiindcă

a + b \ge 2

), iar pentru orice

y \ge 0

{x = \sqrt{y + 1} \ge 1}

este soluție a ecuației

f(x) = y

Exercițiul 4 · x2−1x^2 - 1x2−1 pe [1,∞)[1, \infty)[1,∞)

Demonstrează că funcția f ⁣:[1,∞)→[0,∞)f\colon [1, \infty) \to [0, \infty)f:[1,∞)→[0,∞), f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1f(x)=x2−1 este bijectivă.

1. Injectivitatea ✓

2. Surjectivitatea ✓

3. Concluzia, pe grafic ✓

Exercițiul 4 · $x^2 - 1$ pe $[1, \infty)$

Demonstrează că funcția $f\colon [1, \infty) \to [0, \infty)$ , $f(x) = x^2 - 1$ este bijectivă.

1. Injectivitatea

2. Surjectivitatea

3. Concluzia, pe grafic