Manual · pagina 96

Exercițiul 5 · Șapte funcții bijective, strategii diferite

(Activitate pe grupe) Abordați întâi individual câte o funcție, prezentați raționamentul și discutați asupra diferențelor de strategie implicate în justificarea faptului că următoarele funcții sunt bijective:

a) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = -3x + 1$ ;

b) $f\colon [0, \infty) \to [0, \infty)$ , $f(x) = x^2$ ;

c) $f\colon (-\infty, 0] \to [0, \infty)$ , $f(x) = x^2$ ;

d) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb Q \\ -x, & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}$ ;

e) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = \begin{cases} 2x - 1, & x \le 2 \\ x + 1, & x > 2 \end{cases}$ ;

f) $f\colon \mathbb N \to \mathbb N$ , $f(n) = n + (-1)^n$ ;

g) $f\colon [1, \infty) \to (0, 1]$ , $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ .

a) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = -3x + 1$

Pentru injectivitate folosește monotonia: ce se întâmplă cu o inegalitate când o înmulțești cu

-3

? Pentru surjectivitate, rezolvă

f(x) = y

1. Injectivă, prin monotonie
Funcție bijectivă (manual, p. 94)
$f\colon A \to B$ este bijectivă dacă este injectivă și surjectivă: pentru orice $y \in B$ , ecuația $f(x) = y$ are exact o soluție $x \in A$ .
Un instrument util (manual, p. 85): orice funcție strict monotonă este injectivă.
Strategia aici: arătăm că $f$ este strict monotonă. Fie $a < b$ două numere reale; le comparăm imaginile.
Verifică-te
Dacă $a < b$ , ce relație este între $-3a + 1$ și $-3b + 1$ ?
Deci $f$ este strict descrescătoare (manual, p. 70), prin urmare injectivă.
2. Surjectivă, rezolvând $f(x) = y$
Monotonia nu spune dacă orice valoare este atinsă, așa că rezolvăm ecuația. Mai întâi pe un exemplu, $y = 7$ :
Verifică-te
Ce $x$ verifică $-3x + 1 = 7$ ?
La fel, pentru un $y \in \mathbb R$ oarecare:
$-3x + 1 = y \iff x = \frac{1 - y}{3} \in \mathbb R$
O dreaptă descrescătoare: fiecare orizontală o taie exact o dată, de exemplu ${y = 4}$ în ${x = -1}$ și ${y = -2}$ în ${x = 1}$ .
Orice $y$ are o preimagine, deci $f$ este surjectivă. Fiind și injectivă, $f$ este bijectivă.

Răspuns

f

este bijectivă: strict descrescătoare (deci injectivă), iar pentru orice

y \in \mathbb R

ecuația

f(x) = y

are soluția

x = \dfrac{1 - y}{3}

b) $f\colon [0, \infty) \to [0, \infty)$ , $f(x) = x^2$

\mathbb R

x^2

nu e injectivă din cauza perechilor

x

-x

. Aici domeniul conține doar numere

x \ge 0

: folosește

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

1. Injectivitatea
Bijectivă înseamnă injectivă și surjectivă (manual, p. 94). Fie $a, b \ge 0$ cu $f(a) = f(b)$ , adică $a^2 = b^2$ . Atunci $(a - b)(a + b) = 0$ (din gimnaziu), deci $a = b$ sau $a + b = 0$ .
Verifică-te
Dacă $a + b = 0$ , cu $a \ge 0$ și $b \ge 0$ , ce rezultă?
În ambele cazuri $a = b$ : $f$ este injectivă. (Altă strategie: $f$ este strict crescătoare pe $[0, \infty)$ , manual, p. 70.)
2. Surjectivitatea
Fie $y \ge 0$ . Ecuația $x^2 = y$ are soluțiile $\pm\sqrt y$ (din gimnaziu), dintre care doar una este în domeniul $[0, \infty)$ .
Verifică-te
Ce soluție din domeniul $[0, \infty)$ are ecuația $x^2 = 5$ ?
Doar ramura plină, cu $x \ge 0$ , face parte din $f$ . Orice orizontală ${y = k}$ cu ${k \ge 0}$ o taie exact o dată, de exemplu ${y = 4}$ în ${x = 2}$ .
Pentru orice $y \ge 0$ , $x = \sqrt y \ge 0$ verifică $f(x) = y$ : $f$ este surjectivă, deci bijectivă.

Răspuns

f

este bijectivă: din

a^2 = b^2

a, b \ge 0

rezultă

a = b

, iar pentru orice

y \ge 0

{x = \sqrt y}

este soluție din domeniu.

c) $f\colon (-\infty, 0] \to [0, \infty)$ , $f(x) = x^2$

Acum domeniul conține numerele negative și

0

. Compară

(-3)^2

(-1)^2

: ce fel de monotonie are

f

? Pentru

f(x) = y

, ce semn trebuie să aibă soluția?

1. Injectivă, prin monotonie
Bijectivă înseamnă injectivă și surjectivă (manual, p. 94). De data aceasta alegem altă strategie pentru injectivitate: monotonia (o funcție strict monotonă este injectivă, manual, p. 85). Fie $a < b \le 0$ .
Verifică-te
Pentru $a < b \le 0$ , care pătrat este mai mare?
Deci $f$ este strict descrescătoare pe $(-\infty, 0]$ , prin urmare injectivă.
2. Surjectivitatea
Fie $y \ge 0$ . Ecuația $x^2 = y$ are soluțiile $\pm\sqrt y$ ; în domeniul $(-\infty, 0]$ ne trebuie cea care nu e pozitivă.
Verifică-te
Ce soluție din domeniu are ecuația $f(x) = 9$ ?
Acum ramura plină este cea din stânga, cu $x \le 0$ . Orice orizontală ${y = k}$ cu ${k \ge 0}$ o taie exact o dată, de exemplu ${y = 4}$ în ${x = -2}$ .
Pentru orice $y \ge 0$ , $x = -\sqrt y \le 0$ verifică $f(x) = (-\sqrt y)^2 = y$ : $f$ este surjectivă, deci bijectivă.

Răspuns

f

este bijectivă: strict descrescătoare pe

(-\infty, 0]

(deci injectivă), iar pentru orice

y \ge 0

{x = -\sqrt y}

este soluție din domeniu.

d) $f(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb Q \\ -x, & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}$

Un număr rațional rămâne rațional, iar opusul unui număr irațional este tot irațional. Deci

f

nu „amestecă” cele două tipuri de numere: lucrează pe cazuri.

1. Cum lucrează funcția
Funcția lasă numerele raționale pe loc și schimbă semnul celor iraționale. De exemplu $f(2) = 2$ , $f\left(-\frac12\right) = -\frac12$ , $f(\sqrt2) = -\sqrt2$ .
Verifică-te
Cât este $f(-\sqrt3)$ ?
Observația cheie (din gimnaziu): dacă $x$ este rațional, $f(x) = x$ este rațional; dacă $x$ este irațional, $f(x) = -x$ este tot irațional. Deci $f(\mathbb Q) = \mathbb Q$ și $f(\mathbb R \setminus \mathbb Q) = \mathbb R \setminus \mathbb Q$ : un număr și imaginea lui sunt mereu de același tip.
2. Injectivitatea, pe cazuri
Bijectivă înseamnă injectivă și surjectivă (manual, p. 94). Fie $a, b$ cu $f(a) = f(b)$ .
Dacă $a, b \in \mathbb Q$ : $a = b$ direct. Dacă $a, b \in \mathbb R \setminus \mathbb Q$ : $-a = -b$ , deci $a = b$ . Rămâne cazul „amestecat”.
Verifică-te
Poate fi $f(a) = f(b)$ cu $a$ rațional și $b$ irațional?
Deci din $f(a) = f(b)$ rezultă mereu $a = b$ : $f$ este injectivă.
3. Surjectivitatea, pe cazuri
Fie $y \in \mathbb R$ . Căutăm $x$ cu $f(x) = y$ , tot pe cazuri: dacă $y$ este rațional, $x = y$ convine, fiindcă $f(y) = y$ . Dacă $y$ este irațional?
Verifică-te
Ce $x$ verifică $f(x) = \sqrt2$ ?
Graficul are punctele cu $x$ rațional pe dreapta ${y = x}$ și pe cele cu $x$ irațional pe ${y = -x}$ ; desenul nu le poate separa, de aceea dreptele sunt punctate. Orizontala ${y = 1{,}5}$ întâlnește graficul doar în $(1{,}5;\ 1{,}5)$ : punctul $(-1{,}5;\ 1{,}5)$ ar avea $x$ rațional, deci nu e pe ${y = -x}$ .
În general, pentru $y$ irațional, $x = -y$ este irațional și $f(-y) = -(-y) = y$ . Deci orice $y$ are o preimagine: $f$ este surjectivă, așadar bijectivă.

Răspuns

f

este bijectivă: duce raționalele în raționale și iraționalele în iraționale; ecuația

f(x) = y

are soluția unică

x = y

pentru

y \in \mathbb Q

și

x = -y

pentru

y \in \mathbb R \setminus \mathbb Q

e) $f(x) = \begin{cases} 2x - 1, & x \le 2 \\ x + 1, & x > 2 \end{cases}$

Află ce valori ia fiecare ramură pe intervalul ei. Cele două mulțimi de valori se suprapun? Acoperă împreună tot

\mathbb R

1. Valorile primei ramuri
Bijectivă înseamnă (manual, p. 94): orice $y \in \mathbb R$ are exact o preimagine. Strategia pentru o funcție pe ramuri: aflăm imaginea fiecărei ramuri. Pentru $x \le 2$ , $f(x) = 2x - 1$ , care este strict crescătoare, cu $f(2) = 3$ .
Verifică-te
Ce $x \le 2$ verifică $2x - 1 = -5$ ?
În general, pentru $y \le 3$ , soluția lui $2x - 1 = y$ este $x = \frac{y + 1}2 \le \frac{3 + 1}2 = 2$ , deci este pe ramura bună. Iar pentru $x \le 2$ , $2x - 1 \le 3$ . Așadar:
$f\big((-\infty, 2]\big) = (-\infty, 3]$
2. Valorile celei de-a doua ramuri
Pentru $x > 2$ , $f(x) = x + 1$ , tot strict crescătoare.
Verifică-te
Ce valori ia $x + 1$ pentru $x > 2$ ?
Prima ramură, până la $(2, 3)$ inclusiv, dă valorile $y \le 3$ (marcate pe $Oy$ ); a doua pornește din $(2, 3)$ exclus și dă valorile $y > 3$ . Graficul urcă tot timpul, fără goluri pe verticală.
3. Concluzia
Cele două imagini, $(-\infty, 3]$ și $(3, \infty)$ , nu au elemente comune și împreună dau tot $\mathbb R$ .
Deci un $y \le 3$ are exact o preimagine, $x = \frac{y + 1}2$ , pe prima ramură și niciuna pe a doua; un $y > 3$ are exact una, $x = y - 1$ , pe a doua ramură și niciuna pe prima. Orice $y$ are o singură preimagine: $f$ este bijectivă (de fapt, $f$ este strict crescătoare pe tot $\mathbb R$ ).

Răspuns

f\big((-\infty, 2]\big) = (-\infty, 3]

și

f\big((2, \infty)\big) = (3, \infty)

: imagini disjuncte, cu reuniunea

\mathbb R

, deci

f

este bijectivă.

f) $f\colon \mathbb N \to \mathbb N$ , $f(n) = n + (-1)^n$

Calculează

f(0), f(1), f(2), f(3)

. Ce se întâmplă dacă aplici

f

de două ori?

1. Primele valori
$(-1)^n$ este $1$ pentru $n$ par și $-1$ pentru $n$ impar. Deci $f(n) = n + 1$ dacă $n$ este par și $f(n) = n - 1$ dacă $n$ este impar. Valorile sunt naturale: pentru $n$ impar, $n \ge 1$ , deci $n - 1 \ge 0$ .
Verifică-te
Cât este $f(5)$ ?
$n$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
$f(n)$ $1$ $0$ $3$ $2$ $5$ $4$
$f$ schimbă între ele numerele din fiecare pereche $\{0, 1\}$ , $\{2, 3\}$ , $\{4, 5\}$ , …
2. Aplicăm funcția de două ori
Aplicăm $f$ de două ori unui număr, de exemplu lui $7$ :
Verifică-te
Cât este $f(f(7))$ ?
Ne-am întors de unde am plecat, la fel cum sugerează diagrama. În general: dacă $n$ este par, $f(n) = n + 1$ este impar, deci $f(f(n)) = (n + 1) - 1 = n$ ; dacă $n$ este impar, $f(n) = n - 1$ este par, deci $f(f(n)) = (n - 1) + 1 = n$ . Așadar $f(f(n)) = n$ pentru orice $n \in \mathbb N$ .
3. Injectivă și surjectivă
Bijectivă înseamnă injectivă și surjectivă (manual, p. 94). Ambele rezultă din $f(f(n)) = n$ :
Injectivă. Dacă $f(a) = f(b)$ , aplicăm $f$ ambilor membri: $f(f(a)) = f(f(b))$ , adică $a = b$ .
Surjectivă. Pentru $m \in \mathbb N$ , numărul $x = f(m)$ este o preimagine a lui $m$ : $f(x) = f(f(m)) = m$ . De exemplu, preimaginea lui $4$ este $f(4) = 5$ .
Deci $f$ este bijectivă: o „permutare în perechi” de numere naturale consecutive.

$n$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$f(n)$	$1$	$0$	$3$	$2$	$5$	$4$

Răspuns

f

este bijectivă:

f(n) = n + 1

pentru

n

par,

f(n) = n - 1

pentru

n

impar, iar

f(f(n)) = n

, deci din

f(a) = f(b)

rezultă

a = b

, și orice

m

are preimaginea

f(m)

g) $f\colon [1, \infty) \to (0, 1]$ , $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$

Pentru injectivitate, din

f(a) = f(b)

elimină numitorii și grupează termenii până obții un produs egal cu

0

. Pentru surjectivitate, ecuația

f(x) = y

devine de gradul al doilea în

x

: formează un pătrat.

1. Valorile sunt în codomeniu
Bijectivă înseamnă injectivă și surjectivă (manual, p. 94). Întâi ne asigurăm că $f$ chiar ia valori în $(0, 1]$ . Pentru $x \ge 1$ , $f(x) > 0$ , iar:
$\frac{2x}{x^2 + 1} \le 1 \iff 2x \le x^2 + 1 \iff (x - 1)^2 \ge 0$
ceea ce este adevărat (din gimnaziu). Valoarea $1$ se obține pentru $x = 1$ : $f(1) = \frac22 = 1$ .
Verifică-te
Cât este $f(2)$ ?
2. Injectivitatea
Fie $a, b \ge 1$ cu $f(a) = f(b)$ . Eliminăm numitorii (sunt pozitivi), simplificăm cu $2$ și grupăm:
$a(b^2 + 1) = b(a^2 + 1)$
$\begin{aligned} ab^2 - a^2 b + a - b &= 0 \\ ab(b - a) - (b - a) &= 0 \\ (b - a)(ab - 1) &= 0 \end{aligned}$
Verifică-te
Pentru $a, b \ge 1$ , când poate fi $ab - 1 = 0$ ?
Deci fie $b - a = 0$ , fie $a = b = 1$ : în ambele cazuri $a = b$ , iar $f$ este injectivă.
3. Surjectivitatea
Fie $y \in (0, 1]$ . Din $\frac{2x}{x^2 + 1} = y$ obținem $yx^2 - 2x + y = 0$ . Împărțim la $y \ne 0$ și formăm un pătrat (din gimnaziu):
$\begin{aligned} x^2 - \frac2y\, x + 1 &= 0 \\ \left(x - \frac1y\right)^2 &= \frac1{y^2} - 1 \end{aligned}$
Pentru $0 < y \le 1$ avem $\frac1{y^2} \ge 1$ , deci membrul drept nu este negativ și putem extrage radicalul. Alegem semnul plus:
$x = \frac1y + \sqrt{\frac1{y^2} - 1} \;\ge\; \frac1y \;\ge\; 1$
Verifică-te
Ce $x \ge 1$ verifică $f(x) = \dfrac35$ ?
Graficul lui $f$ pornește din $(1, 1)$ și coboară spre axa $Ox$ fără s-o atingă: valorile umplu $(0, 1]$ . Orizontala ${y = \frac35}$ îl taie doar în $x = 3$ ; soluția $\frac13$ este pe partea punctată, în afara domeniului.
Orice $y \in (0, 1]$ are o preimagine în $[1, \infty)$ : $f$ este surjectivă, deci bijectivă.

Răspuns

f

este bijectivă: din

f(a) = f(b)

rezultă

(b - a)(ab - 1) = 0

, deci

a = b

; iar pentru orice

y \in (0, 1]

{x = \frac1y + \sqrt{\frac1{y^2} - 1}}

este o soluție

x \ge 1

. Imaginea este

(0, 1]

Exercițiul 5 · Șapte funcții bijective, strategii diferite

a)f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)=−3x+1f(x) = -3x + 1f(x)=−3x+1

1. Injectivă, prin monotonie ✓

2. Surjectivă, rezolvând f(x)=yf(x) = yf(x)=y ✓

b)f ⁣:[0,∞)→[0,∞)f\colon [0, \infty) \to [0, \infty)f:[0,∞)→[0,∞), f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2

1. Injectivitatea ✓

2. Surjectivitatea ✓

c)f ⁣:(−∞,0]→[0,∞)f\colon (-\infty, 0] \to [0, \infty)f:(−∞,0]→[0,∞), f(x)=x2f(x) = x^2f(x)=x2

1. Injectivă, prin monotonie ✓

2. Surjectivitatea ✓

d)f(x)={x,x∈Q−x,x∈R∖Qf(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb Q \\ -x, & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}f(x)={x,−x,​x∈Qx∈R∖Q​

1. Cum lucrează funcția ✓

2. Injectivitatea, pe cazuri ✓

3. Surjectivitatea, pe cazuri ✓

e)f(x)={2x−1,x≤2x+1,x>2f(x) = \begin{cases} 2x - 1, & x \le 2 \\ x + 1, & x > 2 \end{cases}f(x)={2x−1,x+1,​x≤2x>2​

1. Valorile primei ramuri ✓

2. Valorile celei de-a doua ramuri ✓

3. Concluzia ✓

f)f ⁣:N→Nf\colon \mathbb N \to \mathbb Nf:N→N, f(n)=n+(−1)nf(n) = n + (-1)^nf(n)=n+(−1)n

1. Primele valori ✓

2. Aplicăm funcția de două ori ✓

3. Injectivă și surjectivă ✓

g)f ⁣:[1,∞)→(0,1]f\colon [1, \infty) \to (0, 1]f:[1,∞)→(0,1], f(x)=2xx2+1f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}f(x)=x2+12x​

1. Valorile sunt în codomeniu ✓

2. Injectivitatea ✓

3. Surjectivitatea ✓

a) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = -3x + 1$

1. Injectivă, prin monotonie

2. Surjectivă, rezolvând $f(x) = y$

b) $f\colon [0, \infty) \to [0, \infty)$ , $f(x) = x^2$

1. Injectivitatea

2. Surjectivitatea

c) $f\colon (-\infty, 0] \to [0, \infty)$ , $f(x) = x^2$

1. Injectivă, prin monotonie

2. Surjectivitatea

d) $f(x) = \begin{cases} x, & x \in \mathbb Q \\ -x, & x \in \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{cases}$

1. Cum lucrează funcția

2. Injectivitatea, pe cazuri

3. Surjectivitatea, pe cazuri

e) $f(x) = \begin{cases} 2x - 1, & x \le 2 \\ x + 1, & x > 2 \end{cases}$

1. Valorile primei ramuri

2. Valorile celei de-a doua ramuri

3. Concluzia

f) $f\colon \mathbb N \to \mathbb N$ , $f(n) = n + (-1)^n$

1. Primele valori

2. Aplicăm funcția de două ori

3. Injectivă și surjectivă

g) $f\colon [1, \infty) \to (0, 1]$ , $f(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$

1. Valorile sunt în codomeniu

2. Injectivitatea

3. Surjectivitatea