Manual · pagina 96

Exercițiul 6 · Șase funcții care nu sunt bijective

Studiază proprietățile de injectivitate și surjectivitate pentru următoarele funcții și demonstrează că nu sunt bijective:

a) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^2 + x$ ;

b) $f\colon \mathbb R \to \mathbb Z$ , $f(x) = [x]$ ;

c) $f\colon \mathbb R \to [0, 1)$ , $f(x) = \{x\}$ ;

d) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = |x|$ ;

e) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R \times \mathbb R$ , $f(x) = (x, x)$ ;

f) $f\colon [0, 1] \times [1, 2] \to \mathbb R \times \mathbb R$ , $f(x) = (x + 1, y + 2)$ .

a) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^2 + x$

Scrie

x^2 + x = x(x + 1)

: unde se anulează? Pentru surjectivitate, formează un pătrat:

x^2 + x = \left(x + \frac12\right)^2 - \dots

1. Injectivitatea
Injectivă, surjectivă, bijectivă (manual, p. 85, 90, 94)
$f$ nu este injectivă dacă există $x_1 \ne x_2$ cu $f(x_1) = f(x_2)$ . $f\colon A \to B$ nu este surjectivă dacă există un $y \in B$ pentru care ecuația $f(x) = y$ nu are soluții în $A$ .
$f$ este bijectivă dacă este și injectivă, și surjectivă; deci ca să arăți că nu este bijectivă, ajunge să lipsească una dintre proprietăți.
Avem $f(x) = x(x + 1)$ , deci $f(0) = 0$ . Căutăm alt $x$ cu aceeași valoare.
Verifică-te
Cât este $f(-1) = (-1)^2 + (-1)$ ?
Avem $f(-1) = f(0)$ cu $-1 \ne 0$ : $f$ nu este injectivă. Deci $f$ nu este bijectivă.
2. Surjectivitatea
Ca să vedem ce valori ia $f$ , formăm un pătrat (din gimnaziu):
$x^2 + x = \left(x + \frac12\right)^2 - \frac14$
Verifică-te
Care este cea mai mică valoare a lui $f$ ?
Graficul taie axa $Ox$ în $x = -1$ și $x = 0$ (două puncte cu aceeași valoare) și coboară cel mult până la $-\frac14$ , în ${x = -\frac12}$ ; o dreaptă ca ${y = -2}$ nu-l întâlnește.
Iar orice $y \ge -\frac14$ este atins: $\left(x + \frac12\right)^2 = y + \frac14$ are soluția $x = -\frac12 + \sqrt{y + \frac14}$ . Deci $\operatorname{Im} f = \left[-\frac14, \infty\right) \ne \mathbb R$ . De exemplu, $f(x) = -1$ nu are soluții: $f$ nu este nici surjectivă.

Răspuns

f

nu este injectivă (

f(-1) = f(0) = 0

) și nici surjectivă (

\operatorname{Im} f = \left[-\frac14, \infty\right)

), deci nu este bijectivă.

b) $f\colon \mathbb R \to \mathbb Z$ , $f(x) = [x]$

Câte numere reale au partea întreagă egală cu

1

? Și ce număr real are partea întreagă egală cu un întreg

k

dat?

1. Injectivitatea
Partea întreagă (din gimnaziu)
$[x]$ este cel mai mare număr întreg mai mic sau egal cu $x$ . Dacă $k \in \mathbb Z$ , atunci $[x] = k \iff k \le x < k + 1$ .
Ne trebuie două numere diferite cu aceeași parte întreagă (definiția neinjectivității, manual, p. 85).
Verifică-te
Cât este $[1{,}5]$ ?
$f(1) = f(1{,}5) = 1$ , cu $1 \ne 1{,}5$ : $f$ nu este injectivă, deci nu este bijectivă.
2. Surjectivitatea
Codomeniul este $\mathbb Z$ . Pentru un întreg $k$ , ecuația $[x] = k$ are soluții? Încercăm $k = 1$ .
Verifică-te
Care sunt soluțiile ecuației $[x] = 1$ ?
Treptele lui $[x]$ : dreapta ${y = 1}$ se suprapune peste o treaptă întreagă, cea pentru $x \in [1, 2)$ , deci are o infinitate de puncte comune cu graficul.
La fel, pentru orice $k \in \mathbb Z$ avem $f(k) = [k] = k$ , deci orice întreg are cel puțin o preimagine: $f$ este surjectivă. Dar, nefiind injectivă, $f$ nu este bijectivă.

Răspuns

f

este surjectivă (

[k] = k

pentru orice

k \in \mathbb Z

), dar nu este injectivă (

[1] = [1{,}5] = 1

), deci nu este bijectivă.

c) $f\colon \mathbb R \to [0, 1)$ , $f(x) = \{x\}$

Partea fracționară este „ce rămâne după virgulă”:

\{x\} = x - [x]

. Ce parte fracționară au toate numerele întregi?

1. Injectivitatea
Partea fracționară (din gimnaziu)
$\{x\} = x - [x]$ , unde $[x]$ este partea întreagă. Mereu $0 \le \{x\} < 1$ .
Verifică-te
Cât este $\{2{,}7\}$ ?
Pentru numerele întregi partea fracționară este $0$ : $\{0\} = \{1\} = 0$ , cu $0 \ne 1$ . Deci $f$ nu este injectivă (manual, p. 85), așadar nu este bijectivă.
2. Surjectivitatea
Codomeniul este $[0, 1)$ . Încercăm valoarea $0{,}5$ : ce numere au partea fracționară $0{,}5$ ?
Verifică-te
Care sunt soluțiile ecuației $\{x\} = 0{,}5$ ?
Graficul lui $\{x\}$ este un „fierăstrău”: pe fiecare $[k, k + 1)$ urcă de la $0$ spre $1$ . Orizontala punctată ${y = 0{,}5}$ îl taie o dată pe fiecare dinte, deci de o infinitate de ori.
Pentru orice $y \in [0, 1)$ avem $[y] = 0$ , deci $\{y\} = y$ : $y$ este propria lui preimagine. Deci $f$ este surjectivă, dar nu injectivă, așa că nu este bijectivă.

Răspuns

f

este surjectivă (

\{y\} = y

pentru orice

y \in [0, 1)

), dar nu este injectivă (

\{0\} = \{1\} = 0

), deci nu este bijectivă.

d) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = |x|$

Două numere opuse au același modul. Și modulul nu poate fi negativ.

1. Injectivitatea
Pentru neinjectivitate (manual, p. 85) căutăm două numere diferite cu același modul.
Verifică-te
Ce număr diferit de $3$ are aceeași imagine ca $3$ ?
$f(-3) = f(3)$ cu $-3 \ne 3$ : $f$ nu este injectivă.
2. Surjectivitatea
Codomeniul este $\mathbb R$ , deci trebuie atinse și numerele negative.
Verifică-te
Care dintre aceste numere nu are nicio preimagine?
Orizontala ${y = 3}$ taie graficul de două ori (nu e injectivă), iar ${y = -2}$ niciodată (nu e surjectivă).
$\operatorname{Im} f = [0, \infty) \ne \mathbb R$ : $f$ nu este surjectivă. Lipsind ambele proprietăți, $f$ nu este bijectivă.

Răspuns

f

nu este injectivă (

|-3| = |3|

) și nici surjectivă (

\operatorname{Im} f = [0, \infty)

), deci nu este bijectivă.

e) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R \times \mathbb R$ , $f(x) = (x, x)$

Valorile lui

f

sunt perechi. Două perechi sunt egale exact când au componentele egale. Ce perechi au cele două componente egale?

1. Injectivitatea
Aici fiecărui număr real $x$ i se asociază perechea $(x, x)$ , de exemplu $f(2) = (2, 2)$ . Pentru injectivitate (manual, p. 85) pornim de la $f(a) = f(b)$ , adică $(a, a) = (b, b)$ .
Verifică-te
Ce rezultă din $(a, a) = (b, b)$ ?
Deci $f$ este injectivă.
2. Surjectivitatea
Codomeniul este $\mathbb R \times \mathbb R$ , toate perechile de numere reale. O pereche $(p, q)$ are preimagine dacă există $x$ cu $(x, x) = (p, q)$ , adică $x = p$ și $x = q$ .
Verifică-te
Care pereche are o preimagine?
Fiecare pereche $(p, q)$ este un punct al planului. Valorile lui $f$ , perechile $(x, x)$ , umplu doar prima bisectoare; punctul $(1, 2)$ , de exemplu, rămâne neatins.
Deci $(1, 2)$ nu are preimagine: $f$ nu este surjectivă, așadar nu este bijectivă.

Răspuns

f

este injectivă (

(a, a) = (b, b) \Rightarrow a = b

), dar nu este surjectivă (de exemplu

(1, 2)

nu este atinsă), deci nu este bijectivă.

f) $f\colon [0, 1] \times [1, 2] \to \mathbb R \times \mathbb R$ , $f(x, y) = (x + 1, y + 2)$

Domeniul este un dreptunghi din plan, iar

f

îl mută:

1

la dreapta și

2

în sus. Unde ajunge dreptunghiul? Acoperă tot planul?

1. Injectivitatea
Elementele domeniului sunt perechi $(x, y)$ cu $0 \le x \le 1$ și $1 \le y \le 2$ , adică punctele unui dreptunghi. De exemplu:
Verifică-te
Cât este $f(1, 2)$ ?
Pentru injectivitate (manual, p. 85), fie $f(x, y) = f(x', y')$ . Egalând componentele:
$\begin{aligned} x + 1 = x' + 1 &\Rightarrow x = x' \\ y + 2 = y' + 2 &\Rightarrow y = y' \end{aligned}$
Deci $(x, y) = (x', y')$ : $f$ este injectivă.
2. Surjectivitatea
Pentru $0 \le x \le 1$ , prima componentă $x + 1$ este între $1$ și $2$ ; pentru $1 \le y \le 2$ , a doua, $y + 2$ , este între $3$ și $4$ . Deci valorile lui $f$ sunt doar în dreptunghiul $[1, 2] \times [3, 4]$ .
Verifică-te
Are perechea $(0, 0)$ o preimagine?
Domeniul (punctat) este mutat de $f$ cu $1$ la dreapta și $2$ în sus, în dreptunghiul $[1, 2] \times [3, 4]$ . Restul planului, de exemplu $(3, 1)$ sau $(0, 0)$ , nu este atins.
$\operatorname{Im} f = [1, 2] \times [3, 4] \ne \mathbb R \times \mathbb R$ : $f$ nu este surjectivă, deci nu este bijectivă.

Răspuns

f

este injectivă, dar nu este surjectivă:

\operatorname{Im} f = [1, 2] \times [3, 4] \ne \mathbb R \times \mathbb R

(de exemplu

(0, 0)

nu este atinsă), deci nu este bijectivă.

Exercițiul 6 · Șase funcții care nu sunt bijective

a)f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)=x2+xf(x) = x^2 + xf(x)=x2+x

1. Injectivitatea ✓

2. Surjectivitatea ✓

b)f ⁣:R→Zf\colon \mathbb R \to \mathbb Zf:R→Z, f(x)=[x]f(x) = [x]f(x)=[x]

1. Injectivitatea ✓

2. Surjectivitatea ✓

c)f ⁣:R→[0,1)f\colon \mathbb R \to [0, 1)f:R→[0,1), f(x)={x}f(x) = \{x\}f(x)={x}

1. Injectivitatea ✓

2. Surjectivitatea ✓

d)f ⁣:R→Rf\colon \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)=∣x∣f(x) = |x|f(x)=∣x∣

1. Injectivitatea ✓

2. Surjectivitatea ✓

e)f ⁣:R→R×Rf\colon \mathbb R \to \mathbb R \times \mathbb Rf:R→R×R, f(x)=(x,x)f(x) = (x, x)f(x)=(x,x)

1. Injectivitatea ✓

2. Surjectivitatea ✓

f)f ⁣:[0,1]×[1,2]→R×Rf\colon [0, 1] \times [1, 2] \to \mathbb R \times \mathbb Rf:[0,1]×[1,2]→R×R, f(x,y)=(x+1,y+2)f(x, y) = (x + 1, y + 2)f(x,y)=(x+1,y+2)

1. Injectivitatea ✓

2. Surjectivitatea ✓

a) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^2 + x$

1. Injectivitatea

2. Surjectivitatea

b) $f\colon \mathbb R \to \mathbb Z$ , $f(x) = [x]$

1. Injectivitatea

2. Surjectivitatea

c) $f\colon \mathbb R \to [0, 1)$ , $f(x) = \{x\}$

1. Injectivitatea

2. Surjectivitatea

d) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = |x|$

1. Injectivitatea

2. Surjectivitatea

e) $f\colon \mathbb R \to \mathbb R \times \mathbb R$ , $f(x) = (x, x)$

1. Injectivitatea

2. Surjectivitatea

f) $f\colon [0, 1] \times [1, 2] \to \mathbb R \times \mathbb R$ , $f(x, y) = (x + 1, y + 2)$

1. Injectivitatea

2. Surjectivitatea