Exercițiul 7 · Graficul, discuția după m și bijectivitatea

i) a)Reprezintă grafic funcția $f$ (prima funcție, cea pe trei ramuri).

Fiecare ramură este o funcție de gradul I pe intervalul ei, deci graficul ei este o bucată de dreaptă. Calculează valorile la capetele intervalelor și vezi care capăt aparține ramurii.

1. Trei bucăți de dreaptă
Pe fiecare interval, $f$ are o lege de gradul I, al cărei grafic este o dreaptă (din gimnaziu). Graficul lui $f$ este deci format din trei bucăți de dreaptă, câte una pe fiecare interval: o semidreaptă pentru $x \le 1$ , un segment pentru $x \in (1, 3)$ și o semidreaptă pentru $x \ge 3$ .
Pentru fiecare bucată ajung două puncte: capătul ei și încă un punct. La capăt trebuie să știi dacă punctul aparține graficului (cerc plin) sau nu (cerc gol).
Prima ramură, $2x - 1$ , este folosită pentru toți $x \le 1$ , inclusiv pentru $x = 1$ . De exemplu $f(-1) = -3$ .
Verifică-te
Cât este $f(1)$ ?
2. Ramura din mijloc, pe $(1, 3)$
Pe $(1, 3)$ legea este ${1 - 3x}$ . Calculăm ${1 - 3x}$ la capete, ca să știm unde se termină segmentul: la ${x = 1}$ obținem ${1 - 3 = -2}$ . Cum $1 \notin (1, 3)$ , segmentul pornește din $(1, -2)$ cu cerc gol.
În interior, de exemplu, $f(2) = 1 - 6 = -5$ .
Verifică-te
Ce ordonată are capătul din dreapta al segmentului, în ${x = 3}$ ?
3. Ultima ramură și graficul întreg
Pentru $x \ge 3$ legea este $x + 2$ , iar $3$ aparține intervalului: $f(3) = 5$ , cerc plin în $(3, 5)$ . Mai luăm un punct, $f(4) = 6$ , și trasăm semidreapta spre dreapta.
Pe axa $Oy$ o diviziune înseamnă $2$ unități. Cercurile pline sunt puncte ale graficului, cele goale nu.
Graficul are două „sărituri”: în $x = 1$ coboară de la $1$ la $-2$ , iar în $x = 3$ urcă de la $-8$ la $5$ .
Graficul nu are niciun punct cu ordonata între $1$ și $5$ . Vom folosi asta la b) și c).

Răspuns

Graficul este format din semidreapta

y = 2x - 1

,

x \le 1

, care se termină în

(1, 1)

(inclus), segmentul

y = 1 - 3x

între

(1, -2)

și

(3, -8)

(capete excluse) și semidreapta

y = x + 2

,

x \ge 3

, care pornește din

(3, 5)

(inclus).

i) b)Determină numărul soluțiilor ecuației $f(x) = m$ , $m \in \mathbb R$ . Discuție după $m$ .

Soluțiile ecuației

f(x) = m

sunt abscisele punctelor în care dreapta orizontală

y = m

taie graficul de la a). Află ce valori ia fiecare ramură.

1. Ecuația citită pe grafic
Un număr $x$ este soluție a ecuației $f(x) = m$ exact atunci când punctul $(x, m)$ este pe grafic, adică pe dreapta orizontală $y = m$ . Deci numărul soluțiilor este numărul punctelor în care dreapta $y = m$ taie graficul. Aceasta este lectura grafică din lecția despre funcțiile bijective (manual, p. 95).
Fiecare ramură este strict monotonă (o funcție de gradul I), deci o dreaptă orizontală o taie cel mult o dată. Rămâne să aflăm, pentru fiecare ramură, ce valori ia ea: dreapta $y = m$ taie ramura exact când $m$ este printre aceste valori.
Prima ramură, $2x - 1$ pentru $x \le 1$ , crește până la $f(1) = 1$ (inclus) și coboară oricât spre stânga: ia toate valorile din $(-\infty, 1]$ . A treia, $x + 2$ pentru $x \ge 3$ , pornește din $f(3) = 5$ și urcă oricât: ia valorile din $[5, \infty)$ .
Verifică-te
Ce valori ia ramura din mijloc, ${1 - 3x}$ pentru ${x \in (1, 3)}$ ?
2. Câteva drepte orizontale
Pe grafic am tras trei drepte orizontale, $y = -4$ , $y = 3$ și $y = 6$ .
Dreptele punctate, de sus în jos: $y = 6$ , $y = 3$ , $y = -4$ . Pe axa $Oy$ o diviziune înseamnă $2$ unități.
Dreapta $y = 3$ trece prin „golul” dintre $1$ și $5$ și nu taie graficul: ecuația $f(x) = 3$ nu are soluții. Dreapta $y = 6$ taie doar ultima ramură, în $x = 4$ .
Dreapta $y = -4$ taie prima ramură, în $x = -\frac32$ , și ramura din mijloc, în $x = \frac53$ : două soluții, pentru că $-4$ este și în $(-\infty, 1]$ , și în $(-8, -2)$ .
Verifică-te
Câte soluții are ecuația $f(x) = -2$ ?

3. Discuția după $m$

Pentru fiecare

m

numărăm în câte dintre mulțimile

(-\infty, 1]

,

(-8, -2)

,

[5, \infty)

se află

m

. Singurele valori care apar în două mulțimi sunt cele din

(-8, -2)

, inclusă în

(-\infty, 1]

.

$m$	Numărul soluțiilor
${m \le -8}$	$1$ (prima ramură)
${-8 < m < -2}$	$2$ (prima și a doua ramură)
${-2 \le m \le 1}$	$1$ (prima ramură)
${1 < m < 5}$	$0$
${m \ge 5}$	$1$ (a treia ramură)

Capetele contează:

m = -8

și

m = -2

dau o singură soluție (capetele ramurii din mijloc sunt goale), iar

m = 1

și

m = 5

dau câte o soluție (cercuri pline).

Răspuns

Ecuația $f(x) = m$ are:

$2$ soluții pentru $m \in (-8, -2)$ ;

$0$ soluții pentru $m \in (1, 5)$ ;

o soluție pentru ${m \le -8}$ , pentru ${m \in [-2, 1]}$ și pentru ${m \ge 5}$ .

i) c)Decide argumentat dacă $f$ este injectivă, surjectivă, bijectivă.

Folosește discuția de la b): o valoare

m

cu două soluții și o valoare

m

fără soluții spun deja tot.

1. Ce înseamnă cele trei proprietăți pentru ecuația $f(x) = m$
Injectivă, surjectivă, bijectivă (manual, p. 85, 90, 94)
$f : A \to B$ este injectivă dacă pentru orice $y \in B$ ecuația ${f(x) = y}$ are cel mult o soluție în $A$ (elemente diferite au imagini diferite).
$f$ este surjectivă dacă pentru orice $y \in B$ ecuația ${f(x) = y}$ are cel puțin o soluție în $A$ .
$f$ este bijectivă dacă este injectivă și surjectivă, adică ecuația ${f(x) = y}$ are exact o soluție pentru orice $y \in B$ .
La b) am numărat soluțiile ecuației $f(x) = m$ pentru fiecare $m \in \mathbb R$ (aici codomeniul este $\mathbb R$ ). Răspunsul se citește direct din acea discuție, dar îl justificăm cu numere concrete.
2. Injectivitatea
Pentru $m = -7 \in (-8, -2)$ ecuația are două soluții. Una este pe prima ramură: ${2x - 1 = -7}$ dă ${x_1 = -3}$ , și într-adevăr $-3 \le 1$ .
A doua este pe ramura din mijloc, ${1 - 3x = -7}$ , cu ${x \in (1, 3)}$ .
Verifică-te
Care este a doua soluție, $x_2$ ?
Deci ${f(-3) = f\left(\frac83\right) = -7}$ , deși ${-3 \ne \frac83}$ : $f$ nu este injectivă. Pe grafic, dreapta ${y = -7}$ taie graficul în două puncte.
3. Surjectivitatea și concluzia
Pentru surjectivitate, căutăm un $m$ din codomeniul $\mathbb R$ care nu este atins.
Verifică-te
Care dintre aceste valori arată că $f$ nu este surjectivă?
Imaginea lui $f$ este reuniunea valorilor celor trei ramuri. Cum $(-8, -2)$ este inclus în $(-\infty, 1]$ , ea este
$\operatorname{Im} f = (-\infty, 1] \cup [5, \infty) \ne \mathbb R,$
deci $f$ nu este surjectivă.
O funcție bijectivă trebuie să fie și injectivă, și surjectivă, deci $f$ nu este bijectivă (aici nu are niciuna dintre cele două proprietăți).

Răspuns

Nu este injectivă (

{f(-3) = f\left(\frac83\right) = -7}

), nu este surjectivă (

\operatorname{Im} f = (-\infty, 1] \cup [5, \infty) \ne \mathbb R

, de exemplu

4

nu este atins), deci nu este bijectivă.

ii) a)Reprezintă grafic funcția $f(x) = |x - 1| + |x + 1|$ .

Scrie

f

fără modul. Fiecare modul își schimbă forma într-un singur punct, cel în care expresia din interior este

0

, deci axa se împarte în trei intervale.

1. Explicităm modulele
Modulul (din gimnaziu)
$|a| = a$ dacă $a \ge 0$ și $|a| = -a$ dacă $a < 0$ .
$|x - 1|$ se schimbă în $x = 1$ , iar $|x + 1|$ în $x = -1$ . Punctele $-1$ și $1$ împart axa în trei intervale; pe fiecare, ambele expresii au semn fix.
Pentru $x \le -1$ : $x - 1 < 0$ și $x + 1 \le 0$ , deci $f(x) = (1 - x) + (-x - 1) = -2x$ .
Pentru $x \ge 1$ : ambele sunt $\ge 0$ , deci $f(x) = (x - 1) + (x + 1) = 2x$ .
Verifică-te
Cu ce este egal $f(x)$ pentru $x \in [-1, 1]$ ?
2. Graficul
$f(x) = \begin{cases} -2x, & x \le -1 \\ 2, & x \in [-1, 1] \\ 2x, & x \ge 1 \end{cases}$
Ramurile se potrivesc la capete: $f(-1) = 2$ și $f(1) = 2$ din ambele legi, deci graficul este o linie neîntreruptă. Câteva valori: $f(-3) = 6$ , $f(0) = 2$ , $f(2) = 4$ .
Un „jgheab”: două semidrepte legate de un segment orizontal la înălțimea $2$ .
Graficul este simetric față de axa $Oy$ , pentru că funcția este pară (manual, p. 73): $\lvert -x - 1 \rvert = |x + 1|$ și $\lvert -x + 1 \rvert = |x - 1|$ , deci $f(-x) = f(x)$ .

Răspuns

f(x) = \begin{cases} -2x, & x \le -1 \\ 2, & x \in [-1, 1] \\ 2x, & x \ge 1 \end{cases}

Graficul este format din semidreapta

y = -2x

(

x \le -1

), segmentul orizontal

y = 2

de la

(-1, 2)

la

(1, 2)

și semidreapta

y = 2x

(

x \ge 1

).

ii) b)Pentru $f(x) = |x - 1| + |x + 1|$ : determină numărul soluțiilor ecuației $f(x) = m$ , $m \in \mathbb R$ . Discuție după $m$ .

Folosește graficul de la a), un „jgheab” cu fundul orizontal la înălțimea

2

. Mută o dreaptă orizontală

y = m

de jos în sus și numără intersecțiile.

1. Ecuația citită pe grafic
La a) am scris funcția pe ramuri:
$f(x) = \begin{cases} -2x, & x \le -1 \\ 2, & x \in [-1, 1] \\ 2x, & x \ge 1 \end{cases}$
Soluțiile ecuației $f(x) = m$ sunt abscisele punctelor în care dreapta orizontală $y = m$ taie graficul (manual, p. 95). Cea mai mică valoare a funcției este $2$ , pe tot segmentul orizontal; în rest graficul este mai sus.
Dreptele punctate $y = 1$ , $y = 2$ , $y = 5$ : sub fundul jgheabului, pe fund și deasupra lui.
2. Sub fund și deasupra fundului
Dacă $m < 2$ , dreapta $y = m$ trece pe sub grafic (de exemplu $y = 1$ ): ecuația nu are soluții, pentru că $f(x) \ge 2$ pentru orice $x$ .
Dacă $m > 2$ , dreapta taie cele două semidrepte, câte o dată (de exemplu $y = 5$ ), și nu atinge segmentul orizontal, unde $f = 2 \ne m$ . Pe fiecare semidreaptă rezolvi ecuația cu legea ei.
Verifică-te
Care sunt soluțiile ecuației $f(x) = 5$ ?
În general, pentru $m > 2$ : pe ramura din dreapta, $2x = m$ dă $x = \frac m2$ , care este $\ge 1$ pentru că $m > 2$ ; pe ramura din stânga, $-2x = m$ dă $x = -\frac m2 \le -1$ . Deci exact două soluții.
3. Pe fundul jgheabului
Rămâne cazul ${m = 2}$ .
Verifică-te
Câte soluții are ecuația $f(x) = 2$ ?
$m$ Numărul soluțiilor
$m < 2$ $0$
$m = 2$ o infinitate, $x \in [-1, 1]$
$m > 2$ $2$ , $x = \pm\frac m2$

$m$	Numărul soluțiilor
$m < 2$	$0$
$m = 2$	o infinitate, $x \in [-1, 1]$
$m > 2$	$2$ , $x = \pm\frac m2$

Răspuns

Pentru

m < 2

ecuația nu are soluții; pentru

m = 2

are o infinitate de soluții (orice

x \in [-1, 1]

); pentru

m > 2

are două soluții,

x = -\frac m2

și

x = \frac m2

.

ii) c)Pentru $f(x) = |x - 1| + |x + 1|$ : decide argumentat dacă $f$ este injectivă, surjectivă, bijectivă.

Folosește discuția de la b): ce spune ea despre o valoare atinsă de mai multe ori și despre una neatinsă?

1. Injectivitatea
Injectivă, surjectivă, bijectivă (manual, p. 85, 90, 94)
$f : A \to B$ este injectivă dacă elemente diferite au imagini diferite; surjectivă dacă orice $y \in B$ este atins, adică ${f(x) = y}$ are cel puțin o soluție.
$f$ este bijectivă dacă este și injectivă, și surjectivă: ${f(x) = y}$ are exact o soluție pentru orice $y \in B$ .
Ca să arătăm că $f$ nu este injectivă, ajung două numere diferite cu aceeași imagine. Discuția de la b) ne spune unde să le căutăm: orice $m > 2$ este atins de două ori, iar $m = 2$ chiar de o infinitate de ori.
Verifică-te
Care pereche arată că $f$ nu este injectivă?
Pe grafic, orice dreaptă orizontală ${y = m}$ cu ${m > 2}$ taie graficul în două puncte, deci $f$ nu este injectivă. La fel arată și $f(0) = f\left(\frac12\right) = 2$ .
2. Surjectivitatea și concluzia
Din b), ecuația $f(x) = m$ nu are soluții pentru $m < 2$ . De exemplu $0 \in \mathbb R$ (codomeniul) nu este atins: ${|x - 1| + |x + 1| = 0}$ ar cere ca ambele module să fie $0$ , adică $x = 1$ și $x = -1$ în același timp.
Imaginea este $\operatorname{Im} f = [2, \infty) \ne \mathbb R$ , deci $f$ nu este surjectivă.
Fiind neinjectivă (și nesurjectivă), $f$ nu este bijectivă.
Altfel, cu inegalitatea modulului
Imaginea se poate verifica și fără grafic, cu inegalitatea ${|a| + |b| \ge |a + b|}$ (din gimnaziu). Cum $|x - 1| = |1 - x|$ , avem $f(x) \ge |(1 - x) + (x + 1)|$ , adică $f(x) \ge 2$ .

Răspuns

Nu este injectivă (

f(-3) = f(3) = 6

), nu este surjectivă (

\operatorname{Im} f = [2, \infty) \ne \mathbb R

, de exemplu

0

nu este atins), deci nu este bijectivă.

Exercițiul 7 · Graficul, discuția după mmm și bijectivitatea

i) a)Reprezintă grafic funcția fff (prima funcție, cea pe trei ramuri).

1. Trei bucăți de dreaptă ✓

2. Ramura din mijloc, pe (1,3)(1, 3)(1,3) ✓

3. Ultima ramură și graficul întreg ✓

i) b)Determină numărul soluțiilor ecuației f(x)=mf(x) = mf(x)=m, m∈Rm \in \mathbb Rm∈R. Discuție după mmm.

1. Ecuația citită pe grafic ✓

2. Câteva drepte orizontale ✓

3. Discuția după mmm ✓

i) c)Decide argumentat dacă fff este injectivă, surjectivă, bijectivă.

1. Ce înseamnă cele trei proprietăți pentru ecuația f(x)=mf(x) = mf(x)=m ✓

2. Injectivitatea ✓

3. Surjectivitatea și concluzia ✓

ii) a)Reprezintă grafic funcția f(x)=∣x−1∣+∣x+1∣f(x) = |x - 1| + |x + 1|f(x)=∣x−1∣+∣x+1∣.

1. Explicităm modulele ✓

2. Graficul ✓

ii) b)Pentru f(x)=∣x−1∣+∣x+1∣f(x) = |x - 1| + |x + 1|f(x)=∣x−1∣+∣x+1∣: determină numărul soluțiilor ecuației f(x)=mf(x) = mf(x)=m, m∈Rm \in \mathbb Rm∈R. Discuție după mmm.

1. Ecuația citită pe grafic ✓

2. Sub fund și deasupra fundului ✓

3. Pe fundul jgheabului ✓

ii) c)Pentru f(x)=∣x−1∣+∣x+1∣f(x) = |x - 1| + |x + 1|f(x)=∣x−1∣+∣x+1∣: decide argumentat dacă fff este injectivă, surjectivă, bijectivă.

1. Injectivitatea ✓

2. Surjectivitatea și concluzia ✓

Exercițiul 7 · Graficul, discuția după $m$ și bijectivitatea

i) a)Reprezintă grafic funcția $f$ (prima funcție, cea pe trei ramuri).

1. Trei bucăți de dreaptă

2. Ramura din mijloc, pe $(1, 3)$

3. Ultima ramură și graficul întreg

i) b)Determină numărul soluțiilor ecuației $f(x) = m$ , $m \in \mathbb R$ . Discuție după $m$ .

1. Ecuația citită pe grafic

2. Câteva drepte orizontale

3. Discuția după $m$

i) c)Decide argumentat dacă $f$ este injectivă, surjectivă, bijectivă.

1. Ce înseamnă cele trei proprietăți pentru ecuația $f(x) = m$

2. Injectivitatea

3. Surjectivitatea și concluzia

ii) a)Reprezintă grafic funcția $f(x) = |x - 1| + |x + 1|$ .

1. Explicităm modulele

2. Graficul

ii) b)Pentru $f(x) = |x - 1| + |x + 1|$ : determină numărul soluțiilor ecuației $f(x) = m$ , $m \in \mathbb R$ . Discuție după $m$ .

1. Ecuația citită pe grafic

2. Sub fund și deasupra fundului

3. Pe fundul jgheabului

ii) c)Pentru $f(x) = |x - 1| + |x + 1|$ : decide argumentat dacă $f$ este injectivă, surjectivă, bijectivă.

1. Injectivitatea

2. Surjectivitatea și concluzia