MateClar
← Capitol

Manual · pagina 96

Exercițiul 8 · Bijecții între Z\mathbb Z și N\mathbb N

a) Arată că f:Z→Nf : \mathbb Z \to \mathbb N,

f(n)={2n,n≥0−2n−1,n<0f(n) = \begin{cases} 2n, & n \ge 0 \\ -2n - 1, & n < 0 \end{cases}

este bijectivă.

b) Arată că g:N→Zg : \mathbb N \to \mathbb Z,

g(x)={x2,x par−x−12,x imparg(x) = \begin{cases} \dfrac x2, & x \text{ par} \\[6pt] \dfrac{-x - 1}2, & x \text{ impar} \end{cases}

este bijectivă.

a)Arată că f:Z→Nf : \mathbb Z \to \mathbb N, f(n)=2n{f(n) = 2n} pentru n≥0{n \ge 0} și f(n)=−2n−1{f(n) = -2n - 1} pentru n<0{n < 0}, este bijectivă.

Fă un tabel de valori pentru nn de la −3-3 la 33. Ce fel de numere dă fiecare ramură: pare sau impare?

  1. 1. Ce face funcția, pe câteva valori

    Pentru n≥0n \ge 0 se folosește 2n2n: f(0)=0f(0) = 0, f(1)=2f(1) = 2, f(2)=4f(2) = 4, f(3)=6f(3) = 6. Pentru n<0n < 0 se folosește −2n−1-2n - 1: f(−1)=2−1=1f(-1) = 2 - 1 = 1, f(−2)=4−1=3f(-2) = 4 - 1 = 3.

    Verifică-te

    Cât este f(−3)f(-3)?
    Z\mathbb Z
    N\mathbb N
    ff
    −3-3
    −2-2
    −1-1
    00
    11
    22
    33
    00
    11
    22
    33
    44
    55
    66

    Numerele n≥0n \ge 0 (săgeți albastre) ajung în numerele pare, iar numerele negative (săgeți verzi) în cele impare.

    Pe această bucată, fiecare număr din {0,1,…,6}\{0, 1, \ldots, 6\} primește exact o săgeată. Arătăm că așa se întâmplă pentru orice m∈Nm \in \mathbb N.

  2. 2. Metoda și primul caz, mm par

    Întâi, ff ia într-adevăr valori în N\mathbb N: pentru n≥0n \ge 0, 2n≥02n \ge 0; pentru n≤−1n \le -1, −2n≥2-2n \ge 2, deci −2n−1≥1-2n - 1 \ge 1.

    Fixăm m∈Nm \in \mathbb N și căutăm toate soluțiile n∈Zn \in \mathbb Z ale ecuației f(n)=m{f(n) = m}. Ramura 2n2n dă numai numere pare, iar ramura −2n−1-2n - 1 (un număr par minus 11) numai numere impare. Deci, după paritatea lui mm, o singură ramură poate da soluții.

    Dacă mm este par, singura posibilitate este 2n=m{2n = m}, adică n=m2{n = \frac m2}. Este un număr întreg (pentru că mm este par) și n≥0n \ge 0, deci este pe ramura bună: exact o soluție.

  3. 3. Al doilea caz, mm impar

    Dacă mm este impar, ramura 2n2n nu poate da mm. Rămâne ecuația −2n−1=m{-2n - 1 = m}, cu condiția n<0{n < 0}. De exemplu, pentru m=7m = 7:

    Verifică-te

    Ce n∈Zn \in \mathbb Z verifică f(n)=7f(n) = 7?
    În general, −2n−1=m{-2n - 1 = m} dă n=−m+12{n = -\frac{m + 1}2}. Este întreg, pentru că m+1m + 1 este par, și negativ, pentru că m+1≥2m + 1 \ge 2. Deci și pentru mm impar ecuația are exact o soluție.

  4. 4. Concluzia

    mmSingura soluție
    mm parn=m2≥0n = \frac m2 \ge 0
    mm imparn=−m+12<0n = -\frac{m + 1}2 < 0

    Pentru orice m∈Nm \in \mathbb N ecuația f(n)=m{f(n) = m} are exact o soluție în Z\mathbb Z: cel puțin una (deci ff este surjectivă) și cel mult una (deci ff este injectivă). Așadar ff este bijectivă.

    Cu alte cuvinte, ff „numără” întregii: 0,−1,1,−2,2,−3,3,…0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, \ldots primesc, în această ordine, numerele 0,1,2,3,4,5,6,…0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, \ldots

Răspuns
Ramura 2n2n (n≥0n \ge 0) dă exact numerele naturale pare, ramura −2n−1-2n - 1 (n<0n < 0) exact pe cele impare. Pentru mm par singura soluție a ecuației f(n)=m{f(n) = m} este n=m2{n = \frac m2}, pentru mm impar este n=−m+12{n = -\frac{m + 1}2}; deci ff este bijectivă.

b)Arată că g:N→Zg : \mathbb N \to \mathbb Z, g(x)=x2g(x) = \frac x2 pentru xx par și g(x)=−x−12g(x) = \frac{-x - 1}2 pentru xx impar, este bijectivă.

Ca la a): fă un tabel pentru x=0,1,…,6x = 0, 1, \ldots, 6 și uită-te ce semn au valorile date de fiecare ramură.

  1. 1. Ce face funcția, pe câteva valori

    Pentru xx par: g(0)=0g(0) = 0, g(2)=1g(2) = 1, g(4)=2g(4) = 2, g(6)=3g(6) = 3. Pentru xx impar: g(1)=−1−12=−1g(1) = \frac{-1 - 1}2 = -1, g(3)=−3−12=−2g(3) = \frac{-3 - 1}2 = -2.

    Verifică-te

    Cât este g(5)g(5)?
    Șirul valorilor g(0),g(1),g(2),…g(0), g(1), g(2), \ldots este 0,−1,1,−2,2,−3,3,…0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, \ldots: numerele pare ajung în întregii ≥0\ge 0, cele impare în întregii negativi.

  2. 2. Ce valori dă fiecare ramură

    Dacă xx este par, x2\frac x2 este un număr natural, deci g(x)≥0g(x) \ge 0.

    Dacă xx este impar, x+1x + 1 este par și x+1≥2x + 1 \ge 2, deci g(x)=−x+12g(x) = -\frac{x + 1}2 este un întreg ≤−1\le -1.

    Așadar gg ia valori în Z\mathbb Z, iar cele două ramuri dau valori diferite ca semn: ramura „par” dă numai întregi ≥0\ge 0, ramura „impar” numai întregi negativi.

  3. 3. Ecuația g(x)=yg(x) = y, pentru y∈Zy \in \mathbb Z

    Dacă y≥0y \ge 0, doar ramura „par” poate da yy: x2=y\frac x2 = y dă x=2yx = 2y, un număr natural par. Exact o soluție.

    Dacă y<0y < 0, doar ramura „impar” poate da yy. De exemplu, pentru y=−4y = -4:

    Verifică-te

    Ce x∈Nx \in \mathbb N verifică g(x)=−4g(x) = -4?
    În general, −x−12=y\frac{-x - 1}2 = y dă x=−2y−1x = -2y - 1. Pentru y≤−1y \le -1, −2y≥2-2y \ge 2, deci x≥1x \ge 1 este un număr natural impar: exact o soluție. Prin urmare gg este injectivă și surjectivă, deci bijectivă.

  4. 4. Legătura cu funcția ff de la a)

    Funcția gg face drumul invers față de ff de la a): ff duce −2-2 în 33, iar gg duce 33 înapoi în −2-2. În general g(f(n))=ng(f(n)) = n pentru orice n∈Zn \in \mathbb Z.
    Z\mathbb Z
    N\mathbb N
    Z\mathbb Z
    ff
    gg
    −2-2
    −1-1
    00
    11
    22
    00
    11
    22
    33
    44
    −2-2
    −1-1
    00
    11
    22

    Fiecare întreg pleacă prin ff și se întoarce prin gg în el însuși.

    Pentru n≥0n \ge 0: f(n)=2nf(n) = 2n este par și g(2n)=ng(2n) = n. Pentru n<0n < 0: f(n)=−2n−1f(n) = -2n - 1 este impar și g(−2n−1)=2n+1−12=ng(-2n - 1) = \frac{2n + 1 - 1}2 = n. Despre astfel de perechi de funcții este lecția următoare, „Funcții inversabile”.
Răspuns
Ramura „par” (x2\frac x2) dă exact întregii y≥0y \ge 0, ramura „impar” (−x−12\frac{-x - 1}2) exact întregii y<0y < 0. Pentru y≥0y \ge 0 singura soluție a ecuației g(x)=yg(x) = y este x=2yx = 2y, pentru y<0y < 0 este x=−2y−1x = -2y - 1; deci gg este bijectivă.