MateClar
← Capitol

Manual · pagina 96

Exercițiul 9 · Funcțiile de gradul I bijective de la [0,1][0, 1] la [1,4][1, 4]

Determină toate funcțiile ff de gradul I bijective, știind că f:[0,1]→[1,4]f : [0, 1] \to [1, 4].

Determină toate funcțiile ff de gradul I bijective, știind că f:[0,1]→[1,4]f : [0, 1] \to [1, 4].

O funcție de gradul I este strict monotonă, deci imaginea intervalului [0,1][0, 1] este intervalul dintre f(0)f(0) și f(1)f(1). Ea trebuie să fie exact [1,4][1, 4]. Tratează separat cazurile a>0a > 0 și a<0a < 0.

  1. 1. Ce căutăm

    Căutăm funcții f(x)=ax+bf(x) = ax + b, cu a≠0a \ne 0 (altfel nu ar fi de gradul I), definite pe [0,1][0, 1], cu valori în [1,4][1, 4] și bijective.

    Injectivitatea vine gratis: o funcție de gradul I este strict monotonă, iar o funcție strict monotonă este injectivă (manual, p. 85).

    Rămâne condiția importantă: imaginea lui [0,1][0, 1] trebuie să fie exact [1,4][1, 4]. Nu mai mult (valorile trebuie să fie în codomeniu) și nu mai puțin (surjectivitatea).

  2. 2. Cazul a>0a > 0: funcția crește

    Pentru a>0a > 0, ff este strict crescătoare (manual, p. 70). Pe [0,1][0, 1] cea mai mică valoare este f(0)=bf(0) = b, cea mai mare f(1)=a+bf(1) = a + b, iar orice număr yy dintre ele este atins, în x=y−ba∈[0,1]x = \frac{y - b}a \in [0, 1]. Deci imaginea este [f(0),f(1)][f(0), f(1)].

    Ca ea să fie [1,4][1, 4], capetele trebuie să coincidă:

    f(0)=1,f(1)=4f(0) = 1, \quad f(1) = 4

    Verifică-te

    Ce funcție obții?

  3. 3. Cazul a<0a < 0: funcția scade

    Pentru a<0a < 0, ff este strict descrescătoare: cea mai mare valoare este acum la stânga, în x=0x = 0, iar cea mai mică la dreapta. Imaginea este [f(1),f(0)][f(1), f(0)].

    Verifică-te

    Ce condiții trebuie să îndeplinească ff în acest caz?
    Din f(0)=b=4{f(0) = b = 4} și f(1)=a+b=1{f(1) = a + b = 1} rezultă a=−3<0a = -3 < 0, deci f(x)=−3x+4f(x) = -3x + 4.
    −2−1123−112345Oxy
    f1f_1
    f2f_2

    Graficele lui f1(x)=3x+1{f_1(x) = 3x + 1} și f2(x)=−3x+4{f_2(x) = -3x + 4} stau deasupra lui [0,1][0, 1] și acoperă exact [1,4][1, 4] pe axa OyOy: unul urcând, celălalt coborând.

  4. 4. Verificare

    Pentru f1(x)=3x+1{f_1(x) = 3x + 1} și y∈[1,4]y \in [1, 4], ecuația 3x+1=y3x + 1 = y are singura soluție x=y−13x = \frac{y - 1}3, care este în [0,1][0, 1]. La fel se procedează pentru f2(x)=−3x+4{f_2(x) = -3x + 4}.

    Verifică-te

    Ce x∈[0,1]x \in [0, 1] verifică f2(x)=−3x+4=2{f_2(x) = -3x + 4 = 2}?
    Deci ambele funcții sunt bijective, iar alte funcții de gradul I bijective [0,1]→[1,4][0, 1] \to [1, 4] nu există: am arătat că oricare trebuie să fie una dintre ele.
Răspuns
Există două funcții: f1(x)=3x+1{f_1(x) = 3x + 1} (crescătoare) și f2(x)=−3x+4{f_2(x) = -3x + 4} (descrescătoare).