Manual · pagina 60

Exercițiul 1 · Care asocieri sunt funcții

Care dintre asocierile următoare definesc o funcție?

a) unei persoane îi asociem vârsta ei;

b) unei cărți îi asociem numărul de pagini;

c) unei drepte din spațiu îi asociem un plan paralel cu ea;

d) unei păsări îi asociem o culoare a penajului;

e) unui triunghi îi asociem centrul său de greutate.

În cazurile cu răspuns cert afirmativ, justifică și apoi determină domeniul și codomeniul.

a)Unei persoane îi asociem vârsta ei.

Pune două întrebări: are fiecare persoană o vârstă? Poate o persoană să aibă, în același moment, două vârste?

1. Ce cere definiția funcției
Funcția (manual, p. 56)
O funcție $f: A \to B$ asociază fiecărui element $x$ din $A$ un singur element $y = f(x)$ din $B$ .
$A$ este domeniul (de unde pleacă săgețile), $B$ este codomeniul (unde ajung).
O asociere nu este funcție dacă un element din $A$ nu are nicio imagine sau are două ori mai multe (manual, p. 57).
Deci verificăm două lucruri pentru asocierea „persoană $\to$ vârsta ei”: existența imaginii (fiecare persoană primește o vârstă) și unicitatea ei (una singură).
2. Existență și unicitate
Orice persoană are o vârstă: numărul de ani împliniți. Deci existența este îndeplinită. Rămâne unicitatea, la un moment dat (de exemplu, azi).
Verifică-te
Câte vârste are o persoană la un moment dat?
3. Domeniul și codomeniul
Asocierea este o funcție. Domeniul este mulțimea elementelor care primesc o imagine: mulțimea persoanelor (de exemplu, toți oamenii, sau doar elevii clasei, dacă ne interesează doar ei).
Codomeniul este o mulțime în care se află toate valorile posibile.
Verifică-te
Ce mulțime poate fi codomeniul?

Răspuns

Da, este funcție: fiecare persoană are, la un moment dat, o singură vârstă. Domeniul este mulțimea persoanelor, iar codomeniul este

\mathbb N

(vârsta în ani împliniți).

b)Unei cărți îi asociem numărul de pagini.

Gândește-te la o carte anume de pe raft. Are un număr de pagini? Poate avea două numere de pagini diferite?

1. Cele două condiții
Funcția (manual, p. 56)
O funcție $f: A \to B$ asociază fiecărui element $x \in A$ un singur element $f(x) \in B$ .
Aici elementele de plecare sunt cărțile, iar fiecărei cărți îi asociem un număr. Verificăm existența (orice carte primește un număr) și unicitatea (un singur număr).
Verifică-te
Este îndeplinită unicitatea: fiecare carte primește un singur număr?
2. Domeniul și codomeniul
Orice carte are pagini, deci și existența este îndeplinită: asocierea este o funcție.
Domeniul este mulțimea cărților (de exemplu, cărțile dintr-o bibliotecă). Valorile sunt numere de pagini.
Verifică-te
Care mulțime este potrivită pentru codomeniu?

Răspuns

Da, este funcție: fiecare carte are un singur număr de pagini. Domeniul este mulțimea cărților, codomeniul este

\mathbb N^*

(sau

\mathbb N

c)Unei drepte din spațiu îi asociem un plan paralel cu ea.

Ține un creion orizontal deasupra băncii. Câte plane paralele cu creionul poți găsi?

1. Ce trebuie verificat
Când o asociere nu este funcție (manual, p. 57)
O asociere nu este funcție dacă cel puțin unui element din domeniu nu i se asociază nimic, sau i se asociază două sau mai multe elemente (nu este respectată unicitatea).
Cuvântul „un” din enunț („un plan paralel”) este un semnal: dacă pentru o dreaptă există mai multe plane paralele cu ea, nu știm pe care să-l alegem, deci imaginea nu este unică.
2. Câte plane paralele are o dreaptă
Din gimnaziu: o dreaptă și un plan sunt paralele dacă nu au niciun punct comun.
Ia o dreaptă $d$ : un creion ținut orizontal la $10$ cm deasupra băncii. Planul băncii este paralel cu $d$ . Planul tavanului este și el paralel cu $d$ .
Verifică-te
Câte plane paralele cu dreapta $d$ există?
3. Concluzia
Fiecărei drepte $d$ îi corespund o infinitate de plane paralele cu ea. Asocierea „ $d \to$ un plan paralel cu $d$ ” nu precizează care dintre ele, deci un element din domeniu are mai multe imagini.
Unicitatea nu este respectată, așa că asocierea nu definește o funcție. Fiind un caz cu răspuns negativ, nu mai cerem domeniu și codomeniu.
Același defect, în manual
Contraexemplul de la p. 59 are aceeași problemă: „unui elev îi asociem notele obținute la Informatică” nu este funcție, pentru că un elev are mai multe note. În schimb, „unui elev îi asociem media finală” este funcție.

Răspuns

Nu. O dreaptă din spațiu are o infinitate de plane paralele cu ea, deci unei drepte i s-ar asocia mai multe plane: unicitatea imaginii nu este respectată.

d)Unei păsări îi asociem o culoare a penajului.

Gândește-te la un papagal. Câte culori are penajul lui?

1. Desenăm asocierea
Funcția (manual, p. 56)
O funcție $f: A \to B$ asociază fiecărui element $x \in A$ un singur element $f(x) \in B$ . Într-o diagramă cu săgeți: din fiecare element al lui $A$ pleacă exact o săgeată.
Luăm câteva păsări și unim fiecare pasăre cu culorile penajului ei:
Fiecare pasăre, unită cu culorile penajului ei.
Verifică-te
Ce arată diagrama despre asocierea „pasăre $\to$ o culoare a penajului”?
2. Concluzia
Pentru corb sau lebădă culoarea ar fi unică, dar o funcție trebuie să meargă pentru fiecare element al domeniului. Un singur element cu două imagini, papagalul, este suficient: asocierea nu definește o funcție.
Fiind un caz cu răspuns negativ, nu mai cerem domeniu și codomeniu.
Cum o putem transforma în funcție
Schimbăm ce asociem, ca în contraexemplul din manual (p. 59): „unei păsări îi asociem numărul de culori ale penajului” este o funcție, cu valori în $\mathbb N^*$ .

Răspuns

Nu. Există păsări cu penajul de mai multe culori (de exemplu papagalul), deci unei păsări i s-ar asocia mai multe culori: unicitatea imaginii nu este respectată.

e)Unui triunghi îi asociem centrul său de greutate.

Amintește-ți din gimnaziu cum se obține centrul de greutate al unui triunghi. Câte astfel de puncte are un triunghi?

1. Ce este centrul de greutate
Funcția (manual, p. 56)
O funcție $f: A \to B$ asociază fiecărui element $x \in A$ un singur element $f(x) \in B$ .
Din gimnaziu: medianele unui triunghi (segmentele de la un vârf la mijlocul laturii opuse) sunt concurente. Punctul lor comun, $G$ , este centrul de greutate.
Triunghiul $ABC$ cu cele trei mediane (punctate), care se întâlnesc în $G$ .
2. Existență și unicitate
Existența: orice triunghi are trei mediane, iar ele se întâlnesc, deci orice triunghi are un centru de greutate.
Unicitatea: două mediane se taie într-un singur punct, iar a treia trece prin același punct. Deci un triunghi are un singur centru de greutate.
Mai rămâne o întrebare care îi încurcă pe mulți. Mută vârful $C$ din figură în $(5, 5)$ și $B$ în $(3, 1)$ : medianele se schimbă, dar $G$ rămâne în același loc.
Verifică-te
Două triunghiuri diferite pot avea același centru de greutate. Împiedică acest lucru asocierea să fie funcție?
3. Domeniul și codomeniul
Asocierea este o funcție. Ea pleacă din mulțimea triunghiurilor și ajunge la puncte.
Domeniul: mulțimea triunghiurilor (de exemplu, toate triunghiurile dintr-un plan).
Codomeniul: o mulțime care conține toate centrele de greutate posibile.
Verifică-te
Care mulțime este potrivită pentru codomeniu?

Răspuns

Da, este funcție: orice triunghi are un singur centru de greutate (punctul de intersecție al medianelor). Domeniul este mulțimea triunghiurilor dintr-un plan, iar codomeniul este mulțimea punctelor acelui plan.

Exercițiul 1 · Care asocieri sunt funcții

a)Unei persoane îi asociem vârsta ei.

1. Ce cere definiția funcției ✓

2. Existență și unicitate ✓

3. Domeniul și codomeniul ✓

b)Unei cărți îi asociem numărul de pagini.

1. Cele două condiții ✓

2. Domeniul și codomeniul ✓

c)Unei drepte din spațiu îi asociem un plan paralel cu ea.

1. Ce trebuie verificat ✓

2. Câte plane paralele are o dreaptă ✓

3. Concluzia ✓

d)Unei păsări îi asociem o culoare a penajului.

1. Desenăm asocierea ✓

2. Concluzia ✓

e)Unui triunghi îi asociem centrul său de greutate.

1. Ce este centrul de greutate ✓

2. Existență și unicitate ✓

3. Domeniul și codomeniul ✓

1. Ce cere definiția funcției

2. Existență și unicitate

3. Domeniul și codomeniul

1. Cele două condiții

2. Domeniul și codomeniul

1. Ce trebuie verificat

2. Câte plane paralele are o dreaptă

3. Concluzia

1. Desenăm asocierea

2. Concluzia

1. Ce este centrul de greutate

2. Existență și unicitate

3. Domeniul și codomeniul