Manual · pagina 61

Exercițiul 10 · Argumente diferite, valori diferite

Se consideră

f: \mathbb R \to \mathbb R

f(x) = 3x - 5

. Demonstrează că dacă

x_1 \ne x_2

, atunci

f(x_1) \ne f(x_2)

Demonstrează că $x_1 \ne x_2 \Rightarrow f(x_1) \ne f(x_2)$ pentru $f(x) = 3x - 5$ .

Calculează diferența

f(x_1) - f(x_2)

și scrie-o ca produs. Când este un produs diferit de

0

1. Ce trebuie arătat
Afirmația spune: două numere diferite au întotdeauna imagini diferite. Pe exemple: $f(1) = -2$ , $f(2) = 1$ , $f(-1) = -8$ , toate diferite.
Exemplele nu ajung; trebuie un argument pentru orice $x_1 \ne x_2$ . Două numere sunt diferite exact când diferența lor nu este $0$ , așa că lucrăm cu diferența $f(x_1) - f(x_2)$ .
Verifică-te
Cât este diferența $f(x_1) - f(x_2)$ , adică $(3x_1 - 5) - (3x_2 - 5)$ ?
2. Demonstrația
Fie $x_1, x_2 \in \mathbb R$ cu $x_1 \ne x_2$ . Atunci:
$\begin{aligned} f(x_1) - f(x_2) &= (3x_1 - 5) \\ &\quad - (3x_2 - 5) \\ &= 3x_1 - 3x_2 \\ &= 3(x_1 - x_2) \end{aligned}$
Factorul $3$ este nenul, iar $x_1 - x_2 \ne 0$ , pentru că $x_1 \ne x_2$ . Un produs de două numere nenule este nenul, deci $f(x_1) - f(x_2) \ne 0$ , adică $f(x_1) \ne f(x_2)$ .
Același lucru, prin reducere la absurd (din capitolul 1): dacă am avea $f(x_1) = f(x_2)$ , atunci $3x_1 - 5 = 3x_2 - 5$ , deci $3x_1 = 3x_2$ și $x_1 = x_2$ , în contradicție cu $x_1 \ne x_2$ .
3. Pe grafic și de ce contează coeficientul
O dreaptă orizontală taie graficul lui $f$ cel mult o dată: nicio valoare nu e atinsă de două ori.
Verifică-te
Pentru care dintre funcțiile de mai jos afirmația „ $x_1 \ne x_2 \Rightarrow h(x_1) \ne h(x_2)$ ” este falsă?
Un nume pentru această proprietate
O funcție la care argumente diferite au mereu imagini diferite se numește injectivă; o vei studia în detaliu mai târziu (manual, p. 85).

Răspuns

Pentru

x_1 \ne x_2

f(x_1) - f(x_2) = 3(x_1 - x_2) \ne 0

, ca produs de numere nenule, deci

f(x_1) \ne f(x_2)