MateClar
← Capitol

Manual · pagina 61

Exercițiul 11 · Domeniul maxim de definiție

(Activitate în pereche) Determinați domeniul maxim de definiție A⊂RA \subset \mathbb R pentru următoarele funcții:

a) f:A→Rf: A \to \mathbb R, f(x)=x+4f(x) = \sqrt{x + 4};

b) f:A→Rf: A \to \mathbb R, f(x)=2x+1x−3f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3};

c) f:A→Rf: A \to \mathbb R, f(x)=1[x]−3f(x) = \dfrac{1}{[x] - 3}.

Pentru toate funcțiile de mai sus, definite pe domeniul maxim de definiție, calculați imaginile corespunzătoare valorilor 00 și 22. Sunt 00 și 22 imagini ale vreuneia dintre funcțiile de mai sus?

a)f(x)=x+4f(x) = \sqrt{x + 4}: domeniul maxim, f(0)f(0) și f(2)f(2).

Radicalul de ordinul doi are sens doar pentru numere care nu sunt negative.

  1. 1. Condiția de existență

    Din gimnaziu: a\sqrt{a} are sens doar pentru a≥0a \ge 0. De exemplu 0=0\sqrt{0} = 0 există, dar −1\sqrt{-1} nu este număr real. Deci condiția este:
    x+4≥0x + 4 \ge 0

    Verifică-te

    Care este domeniul maxim AA?

  2. 2. Imaginile lui 0 și 2

    Ambele numere sunt în AA. Pentru 00: f(0)=0+4=4=2f(0) = \sqrt{0 + 4} = \sqrt4 = 2.

    Verifică-te

    Cât este f(2)f(2)?
    −5−4−3−2−112345−11234Oxy
    x+4\sqrt{x + 4}
    (0,2)(0, 2)
    (2,6)(2, \sqrt6)

    Graficul pornește din (−4,0)(-4, 0): domeniul [−4,∞)[-4, \infty) este marcat pe OxOx.

Răspuns
A=[−4,∞)A = [-4, \infty); f(0)=2f(0) = 2 și f(2)=6f(2) = \sqrt6.

b)f(x)=2x+1x−3f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 3}: domeniul maxim, f(0)f(0) și f(2)f(2).

O fracție are sens când numitorul ei nu este 00.

  1. 1. Condiția de existență

    Împărțirea la 00 nu are sens, deci numitorul trebuie să fie nenul. Numărătorul poate fi orice număr, chiar 00.

    Verifică-te

    Care este domeniul maxim AA?

  2. 2. Imaginile lui 0 și 2

    Ambele numere sunt în AA (niciunul nu este 33). Pentru 00:
    f(0)=2⋅0+10−3=−13f(0) = \frac{2 \cdot 0 + 1}{0 - 3} = -\frac13

    Verifică-te

    Cât este f(2)f(2)?
    −4−3−2−1123456789−6−5−4−3−2−112345678Oxy
    ff
    (2,−5)(2, -5)

    Graficul are două bucăți, despărțite de dreapta punctată x=3x = 3: acolo funcția nu este definită.

Răspuns
A=R∖{3}A = \mathbb R \setminus \{3\}; f(0)=−13f(0) = -\dfrac13 și f(2)=−5f(2) = -5.

c)f(x)=1[x]−3f(x) = \dfrac{1}{[x] - 3}: domeniul maxim, f(0)f(0) și f(2)f(2).

Numitorul se anulează când [x]=3[x] = 3. Pentru ce numere xx are loc asta? Nu doar pentru x=3x = 3.

  1. 1. Condiția de existență

    Ca la b), numitorul trebuie să fie nenul: [x]−3≠0[x] - 3 \ne 0, adică [x]≠3[x] \ne 3. Deci scoatem din R\mathbb R toate numerele care au partea întreagă 33.

    Verifică-te

    Pentru ce numere xx avem [x]=3[x] = 3?
    A=R∖[3,4)A = \mathbb R \setminus [3, 4)

  2. 2. Imaginile lui 0 și 2

    Ambele numere sunt în AA. Cum [0]=0[0] = 0 și [2]=2[2] = 2:
    f(0)=10−3=−13f(2)=12−3=−1\begin{aligned} f(0) &= \frac{1}{0 - 3} = -\frac13 \\[4pt] f(2) &= \frac{1}{2 - 3} = -1 \end{aligned}
    Pe un interval [k,k+1)[k, k + 1) partea întreagă este aceeași, deci și ff ia aceeași valoare. Graficul este format din „trepte”:
    −2−11234567−2−112Oxy

    Intervalul marcat pe OxOx, [3,4)[3, 4), nu face parte din domeniu: acolo graficul lipsește.

    Verifică-te

    Cât este f(4,2)f(4{,}2)?
Răspuns
A=R∖[3,4)A = \mathbb R \setminus [3, 4); f(0)=−13f(0) = -\dfrac13 și f(2)=−1f(2) = -1.

ÎntrebareSunt 00 și 22 imagini ale vreuneia dintre funcțiile de la a), b), c)?

Un număr yy este imagine a lui ff dacă ecuația f(x)=yf(x) = y are o soluție în domeniu. Nu te opri la valorile calculate în 00 și 22.

  1. 1. Ce înseamnă „y este imagine”

    Valorile calculate la a)–c) sunt 22, 6\sqrt6, −13-\frac13, −5-5, −13-\frac13, −1-1. Printre ele apare 2=fa(0)2 = f_a(0), deci 22 este sigur imagine pentru faf_a.

    Dar alte xx din domeniu pot da 00 sau 22. Pentru fiecare funcție rezolvăm ecuațiile f(x)=0f(x) = 0 și f(x)=2f(x) = 2.

  2. 2. Valoarea 0

    a) x+4=0\sqrt{x + 4} = 0 înseamnă x+4=0x + 4 = 0, adică x=−4x = -4, iar −4∈[−4,∞)-4 \in [-4, \infty).

    Verifică-te

    Este 00 imagine pentru fb(x)=2x+1x−3f_b(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}?
    c) 1[x]−3\frac{1}{[x] - 3} are numărătorul 11, deci nu este niciodată 00.

  3. 3. Valoarea 2

    a) fa(0)=2f_a(0) = 2, deci da.

    b) Ecuația 2x+1x−3=2\frac{2x + 1}{x - 3} = 2, cu x≠3x \ne 3, se înmulțește cu x−3x - 3:

    2x+1=2x−62x + 1 = 2x - 6

    Verifică-te

    Ce soluții are ecuația 2x+1=2x−62x + 1 = 2x - 6?
    c) 1[x]−3=2\frac{1}{[x] - 3} = 2 înseamnă [x]−3=12[x] - 3 = \frac12, adică [x]=72[x] = \frac72. Dar [x][x] este număr întreg, iar 72\frac72 nu, deci nu există soluții.
    Funcția00 este imagine?22 este imagine?
    a) x+4\sqrt{x + 4}da, în −4-4da, în 00
    b) 2x+1x−3\frac{2x + 1}{x - 3}da, în −12-\frac12nu
    c) 1[x]−3\frac{1}{[x] - 3}nunu
Răspuns
Da. 00 este imagine pentru a) (f(−4)=0f(-4) = 0) și pentru b) (f(−12)=0f\left(-\frac12\right) = 0); 22 este imagine doar pentru a) (f(0)=2f(0) = 2). Funcția de la c) nu ia niciuna dintre valorile 00 și 22.