Manual · pagina 61

Exercițiul 12 · Aparține $y$ imaginii? Preimaginea lui $y$

Se consideră funcția

{f : \mathbb Z \to \mathbb Z}

{f(x) = x^2 - x + 1}

. Verifică dacă elementul

{y = 1}

aparține imaginii funcției, iar în caz afirmativ determină preimaginea acestuia. Aceeași cerință pentru

{y = 0}

Aparțin ${y = 1}$ și ${y = 0}$ imaginii lui ${f(x) = x^2 - x + 1}$ , ${f : \mathbb Z \to \mathbb Z}$ ? Dacă da, care le sunt preimaginile?

Un număr

y

este în imagine dacă îl „nimerește” măcar un

x

din domeniu. Scrie ecuația

{f(x) = y}

și caută-i soluțiile întregi.

1. Imagine și preimagine, într-o singură ecuație
Imaginea și preimaginea (manual, p. 56 și p. 58)
Imaginea lui ${f : A \to B}$ este mulțimea valorilor obținute efectiv: $\mathrm{Im}(f) = \{f(x) \mid x \in A\}$ .
Preimaginea lui $y$ este mulțimea elementelor din domeniu care ajung în $y$ : $f^{-1}(\{y\}) = \{x \in A \mid f(x) = y\}$ .
Ambele întrebări se reduc la aceeași ecuație, ${f(x) = y}$ , cu necunoscuta $x$ în domeniul $\mathbb Z$ :
Dacă are măcar o soluție întreagă, ${y \in \mathrm{Im}(f)}$ , iar mulțimea soluțiilor este chiar preimaginea.
Dacă nu are nicio soluție întreagă, ${y \notin \mathrm{Im}(f)}$ , iar preimaginea este mulțimea vidă.
2. Cazul ${y = 1}$
Ecuația este ${x^2 - x + 1 = 1}$ . Scazi $1$ din ambii membri și dai factor comun pe $x$ (din gimnaziu):
$x^2 - x = 0 \iff x(x - 1) = 0$
Verifică-te
Ce soluții are ecuația ${x(x - 1) = 0}$ ?
Ambele soluții sunt numere întregi, deci sunt în domeniu. Așadar ${1 \in \mathrm{Im}(f)}$ , iar preimaginea lui $1$ are două elemente:
$f^{-1}(\{1\}) = \{0,\ 1\}$
3. Cazul ${y = 0}$
Ecuația este ${x^2 - x + 1 = 0}$ , adică ${x(x - 1) = -1}$ . Ne uităm la semnul produsului $x(x - 1)$ pentru $x$ întreg.
Verifică-te
Ce semn are produsul $x(x - 1)$ când $x$ este un număr întreg?
Un produs ${\ge 0}$ nu poate fi egal cu $-1$ , deci ecuația nu are nicio soluție întreagă. Altfel spus, ${f(x) = x(x - 1) + 1 \ge 1}$ pentru orice ${x \in \mathbb Z}$ .
Așadar ${0 \notin \mathrm{Im}(f)}$ , iar ${f^{-1}(\{0\}) = \emptyset}$ .
4. Verificare pe grafic
Domeniul este $\mathbb Z$ , deci graficul este format din puncte izolate. Iată câteva:
$x$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $3$
$f(x)$ $7$ $3$ $1$ $1$ $3$ $7$
Dreapta ${y = 1}$ trece prin două puncte ale graficului, în ${x = 0}$ și ${x = 1}$ . Pe axa $Ox$ ( ${y = 0}$ ) nu este niciun punct.
Și pentru $x$ real
Completând pătratul (din gimnaziu), $x^2 - x + 1 = \left(x - \frac12\right)^2 + \frac34 > 0$ . Deci valoarea $0$ nu ar fi atinsă nici dacă domeniul ar fi $\mathbb R$ .

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$7$	$3$	$1$	$1$	$3$	$7$

Răspuns

${1 \in \mathrm{Im}(f)}$ , cu ${f^{-1}(\{1\}) = \{0,\ 1\}}$ .

${0 \notin \mathrm{Im}(f)}$ , deci ${f^{-1}(\{0\}) = \emptyset}$ .

Exercițiul 12 · Aparține yyy imaginii? Preimaginea lui yyy

Aparțin y=1{y = 1}y=1 și y=0{y = 0}y=0 imaginii lui f(x)=x2−x+1{f(x) = x^2 - x + 1}f(x)=x2−x+1, f:Z→Z{f : \mathbb Z \to \mathbb Z}f:Z→Z? Dacă da, care le sunt preimaginile?

1. Imagine și preimagine, într-o singură ecuație ✓

2. Cazul y=1{y = 1}y=1 ✓

3. Cazul y=0{y = 0}y=0 ✓

4. Verificare pe grafic ✓

Exercițiul 12 · Aparține $y$ imaginii? Preimaginea lui $y$

Aparțin ${y = 1}$ și ${y = 0}$ imaginii lui ${f(x) = x^2 - x + 1}$ , ${f : \mathbb Z \to \mathbb Z}$ ? Dacă da, care le sunt preimaginile?

1. Imagine și preimagine, într-o singură ecuație

2. Cazul ${y = 1}$

3. Cazul ${y = 0}$

4. Verificare pe grafic