Manual · pagina 61

Exercițiul 13 · O funcție pe ramuri cu parametru

Se consideră funcția ${f : \mathbb R \to \mathbb R}$ ,

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1, & x \le 0 \\ 3x + a, & x > 0 \end{cases}$

Determină ${a \in \mathbb R}$ astfel încât ${f(0) = f(1)}$ . Precizează mulțimea de valori reale ale lui $a$ pentru care, oricare ar fi ${y \in \mathbb R}$ , $f^{-1}(\{y\})$ reprezintă o mulțime cu cel mult un element.

Pentru ${f(x) = 2x + 1}$ ( ${x \le 0}$ ), ${f(x) = 3x + a}$ ( ${x > 0}$ ): află $a$ cu ${f(0) = f(1)}$ , apoi toți $a$ pentru care fiecare $f^{-1}(\{y\})$ are cel mult un element.

Pentru

f(0)

și

f(1)

alege întâi ramura potrivită. Pentru a doua cerință: ce valori ia fiecare ramură? Când poate fi aceeași valoare atinsă de două ori?

1. Condiția ${f(0) = f(1)}$
O funcție pe ramuri se calculează pe ramura care conține punctul. Numărul $0$ verifică ${x \le 0}$ , iar $1$ verifică ${x > 0}$ .
Verifică-te
Cât este $f(0)$ ?
Pe a doua ramură, ${f(1) = 3 \cdot 1 + a = 3 + a}$ . Egalitatea ${f(0) = f(1)}$ devine ${3 + a = 1}$ , deci:
$a = -2$
2. Ce înseamnă „ $f^{-1}(\{y\})$ are cel mult un element”
Preimaginea (manual, p. 58)
$f^{-1}(\{y\}) = \{x \in \mathbb R \mid f(x) = y\}$ : toate elementele domeniului care ajung în $y$ .
Cerința spune: nicio valoare $y$ nu este atinsă de două ori. Pentru ${a = -2}$ ea nu este îndeplinită: ${f(0) = f(1) = 1}$ , deci $f^{-1}(\{1\})$ conține și pe $0$ , și pe $1$ .
Pe fiecare ramură, separat, o valoare nu se repetă: din ${2x_1 + 1 = 2x_2 + 1}$ rezultă ${x_1 = x_2}$ , la fel pentru $3x + a$ (ca la exercițiul 10). O valoare se poate repeta doar dacă o ia o dată fiecare ramură: un ${x \le 0}$ și un ${x > 0}$ .
Pentru ${a = -2}$ , dreapta ${y = 1}$ taie graficul de două ori, în ${x = 0}$ și ${x = 1}$ .
3. Ce valori ia fiecare ramură
Folosim metoda din exercițiile rezolvate 3 și 4 (manual, p. 60): $y$ este luat de o ramură dacă ecuația ${f(x) = y}$ are soluție pe intervalul acelei ramuri.
$\begin{aligned} 2x + 1 = y &\iff x = \frac{y - 1}{2}, \\ \frac{y - 1}{2} \le 0 &\iff y \le 1 \end{aligned}$
Deci prima ramură ia exact valorile din $(-\infty, 1]$ . Fă la fel pentru a doua ramură: $3x + a = y \iff x = \dfrac{y - a}{3}$ , cu condiția ${x > 0}$ .
Verifică-te
Ce valori ia ramura $3x + a$ pentru ${x > 0}$ ?
4. Când nu se suprapun cele două mulțimi
Cerința este îndeplinită exact când $(-\infty, 1]$ și $(a, +\infty)$ nu au niciun element comun.
Verifică-te
Pentru ce valori ale lui $a$ nu au cele două mulțimi niciun element comun?
Dacă ${a < 1}$ , valoarea ${y = 1}$ este luată de două ori: în ${x = 0}$ și în ${x = \frac{1 - a}{3} > 0}$ . Deci ${a < 1}$ nu convine.
Pentru ${a = 2}$ : prima ramură urcă până la $1$ , a doua pornește de deasupra lui $2$ . Valorile dintre ele, $(1, 2]$ , nu sunt luate deloc, dar niciuna nu e luată de două ori.

Răspuns

${f(0) = f(1)}$ pentru ${a = -2}$ .

Fiecare preimagine $f^{-1}(\{y\})$ are cel mult un element exact pentru ${a \in [1, +\infty)}$ .

Exercițiul 13 · O funcție pe ramuri cu parametru

Pentru f(x)=2x+1{f(x) = 2x + 1}f(x)=2x+1 (x≤0{x \le 0}x≤0), f(x)=3x+a{f(x) = 3x + a}f(x)=3x+a (x>0{x > 0}x>0): află aaa cu f(0)=f(1){f(0) = f(1)}f(0)=f(1), apoi toți aaa pentru care fiecare f−1({y})f^{-1}(\{y\})f−1({y}) are cel mult un element.

1. Condiția f(0)=f(1){f(0) = f(1)}f(0)=f(1) ✓

2. Ce înseamnă „f−1({y})f^{-1}(\{y\})f−1({y}) are cel mult un element” ✓

3. Ce valori ia fiecare ramură ✓

4. Când nu se suprapun cele două mulțimi ✓

Pentru ${f(x) = 2x + 1}$ ( ${x \le 0}$ ), ${f(x) = 3x + a}$ ( ${x > 0}$ ): află $a$ cu ${f(0) = f(1)}$ , apoi toți $a$ pentru care fiecare $f^{-1}(\{y\})$ are cel mult un element.

1. Condiția ${f(0) = f(1)}$

2. Ce înseamnă „ $f^{-1}(\{y\})$ are cel mult un element”

3. Ce valori ia fiecare ramură

4. Când nu se suprapun cele două mulțimi