Manual · pagina 61

Exercițiul 14 · Sunt funcțiile egale?

Se dau funcțiile

{f : [1, 2] \to \mathbb R}

,

{f(x) = x + 1}

și

{g : [1, 2] \to [2, 3]}

,

{g(x) = x + 1}

. Sunt funcțiile

f

și

g

egale? Justifică.

Sunt egale ${f : [1, 2] \to \mathbb R}$ și ${g : [1, 2] \to [2, 3]}$ , ambele cu legea $x + 1$ ?

Aceeași formulă nu ajunge. Recitește definiția funcțiilor egale: ce trei lucruri trebuie să coincidă?

1. Definiția funcțiilor egale
Funcții egale (manual, p. 57)
Funcțiile ${f : A \to B}$ și ${g : C \to D}$ sunt egale dacă:
Același domeniu: ${A = C}$ .
Același codomeniu: ${B = D}$ .
Aceeași lege: ${f(x) = g(x)}$ pentru orice ${x \in A}$ .
O funcție nu este doar o formulă: ea are un domeniu, un codomeniu și o lege. Comparăm pe rând cele trei componente.
2. Comparăm cele trei componente
În scrierea ${f : A \to B}$ , mulțimea dinaintea săgeții este domeniul, iar cea de după săgeată este codomeniul. Citește-le pentru ${f : [1, 2] \to \mathbb R}$ și ${g : [1, 2] \to [2, 3]}$ , apoi compară și legile.
Verifică-te
Care dintre cele trei condiții din definiție nu este îndeplinită?
Componenta $f$ $g$
domeniul $[1, 2]$ $[1, 2]$
codomeniul $\mathbb R$ $[2, 3]$
legea $x + 1$ $x + 1$
Deci $f$ și $g$ nu sunt egale.
3. Capcana imaginii
Cele două funcții au totuși ceva în comun: aceleași valori. Pentru ${x \in [1, 2]}$ , valoarea $x + 1$ parcurge un interval.
Verifică-te
Ce imagine au $f$ și $g$ ?
Același grafic pentru $f$ și $g$ : domeniul $[1, 2]$ pe $Ox$ , imaginea $[2, 3]$ pe $Oy$ .
Graficele și imaginile coincid, dar asta nu ajunge: definiția cere același codomeniu, nu aceeași imagine. Codomeniul lui $f$ este ${\mathbb R \ne [2, 3]}$ .

Răspuns

Nu sunt egale. Au același domeniu,

[1, 2]

, și aceeași lege,

x + 1

, dar codomenii diferite:

{\mathbb R \ne [2, 3]}

.