MateClar
← Capitol

Manual · pagina 61

Exercițiul 15 · Un număr care nu este în imagine

Se consideră funcția f:R→R{f : \mathbb R \to \mathbb R}, f(x)=xx2+1{f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}}. Justifică faptul că 1∉Im(f){1 \notin \mathrm{Im}(f)}.

Arată că 11 nu este în imaginea funcției f(x)=xx2+1{f(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}}, f:R→R{f : \mathbb R \to \mathbb R}.

11 ar fi în imagine dacă ar exista un xx real cu f(x)=1{f(x) = 1}. Scrie această ecuație fără fracție și arată că nu are soluții.

  1. 1. Ce trebuie arătat

    Avem de arătat că ecuația xx2+1=1{\dfrac{x}{x^2 + 1} = 1} nu are nicio soluție reală.

  2. 2. Scăpăm de fracție

    Numitorul x2+1x^2 + 1 este cel puțin 11, deci nu se anulează niciodată. Înmulțim ambii membri cu el, apoi trecem totul în membrul drept:
    x=x2+1x = x^2 + 1

    Verifică-te

    Ce ecuație obții după ce aduci totul într-un singur membru?

  3. 3. Ecuația nu are soluții

    Completăm pătratul (din gimnaziu): x2−x=(x−12)2−14x^2 - x = \left(x - \frac12\right)^2 - \frac14, deci:
    x2−x+1=(x−12)2+cx^2 - x + 1 = \left(x - \tfrac12\right)^2 + c

    Verifică-te

    Cât este constanta cc?

    Un pătrat este ≥0{\ge 0}, deci pentru orice xx real:

    x2−x+1=(x−12)2+34≥34>0\begin{aligned} x^2 - x + 1 &= \left(x - \tfrac12\right)^2 + \tfrac34 \\ &\ge \tfrac34 > 0 \end{aligned}

    Membrul stâng nu poate fi 00: ecuația nu are soluții reale.

    (La fel arată și discriminantul, din gimnaziu: Δ=1−4=−3<0{\Delta = 1 - 4 = -3 < 0}.)

    Deci nu există xx cu f(x)=1{f(x) = 1}, adică 1∉Im(f){1 \notin \mathrm{Im}(f)}.

  4. 4. Pe grafic

    −4−3−2−11234−112Oxy
    ff
    y=1{y = 1}

    Graficul lui ff nu ajunge niciodată la dreapta y=1{y = 1}: cea mai mare valoare este f(1)=12{f(1) = \frac12}.

    Figura arată chiar mai mult: ff nu trece de 12\frac12. Pentru exercițiu ajunge însă ce am demonstrat: ecuația f(x)=1{f(x) = 1} nu are soluții.
Răspuns
f(x)=1  ⟺  x2−x+1=0  ⟺  (x−12)2+34=0,\begin{aligned} f(x) = 1 &\iff x^2 - x + 1 = 0 \\ &\iff \left(x - \tfrac12\right)^2 + \tfrac34 = 0, \end{aligned} imposibil, pentru că membrul stâng este cel puțin 34\frac34. Deci 1∉Im(f){1 \notin \mathrm{Im}(f)}.