Manual · pagina 61

Exercițiul 16 · Imaginea unei funcții

Determină imaginea funcției:

a) ${f : \mathbb R \to \mathbb R}$ , ${f(x) = x^2 + 1}$ ;

b) ${f : [-1, 2] \to \mathbb R}$ , ${f(x) = 2x + 3}$ .

a) ${f : \mathbb R \to \mathbb R}$ , ${f(x) = x^2 + 1}$

Un număr

y

este în imagine dacă ecuația

{x^2 + 1 = y}

are măcar o soluție reală. Pentru ce

y

se întâmplă asta?

1. Metoda, ecuația ${f(x) = y}$
Imaginea unei funcții (manual, p. 56)
$\mathrm{Im}(f) = \{f(x) \mid x \in A\}$ . Un număr $y$ este în imagine exact când ecuația ${f(x) = y}$ are cel puțin o soluție $x$ în domeniu. Așa lucrează manualul în exercițiile rezolvate 3 și 4 (p. 60).
Fixăm un $y$ oarecare și scriem ecuația, cu necunoscuta ${x \in \mathbb R}$ :
$x^2 + 1 = y \iff x^2 = y - 1$
2. Când are soluții ecuația ${x^2 = y - 1}$
Ecuația ${x^2 = c}$ (din gimnaziu)
Pătratul unui număr real este ${\ge 0}$ . Dacă ${c \ge 0}$ , ecuația ${x^2 = c}$ are soluțiile ${x = \pm\sqrt c}$ ; dacă ${c < 0}$ , nu are soluții reale.
Verifică-te
Pentru ce valori ale lui $y$ are ecuația ${x^2 = y - 1}$ soluții reale?
De exemplu, ${y = 5}$ este în imagine: ${x^2 = 4}$ dă ${x = \pm 2}$ , și într-adevăr ${f(2) = f(-2) = 5}$ . În schimb, ${y = 0}$ nu este: ${x^2 = -1}$ nu are soluții.
3. Imaginea și graficul
$\mathrm{Im}(f) = [1, +\infty)$
Graficul coboară cel mai jos în $(0, 1)$ ; pe $Oy$ este marcată imaginea, $[1, +\infty)$ .

Răspuns

{\mathrm{Im}(f) = [1, +\infty)}

Scoate

x

din ecuația

{2x + 3 = y}

. Condiția ca soluția să fie în domeniu este o dublă inegalitate pentru

y

1. Ecuația ${f(x) = y}$ , cu $x$ în domeniu
Imaginea unei funcții (manual, p. 56)
${y \in \mathrm{Im}(f)}$ exact când ecuația ${f(x) = y}$ are o soluție $x$ în domeniu, aici în $[-1, 2]$ . Exercițiul rezolvat 3 de la p. 60 lucrează exact așa.
Scoatem $x$ din ecuație:
$2x + 3 = y \iff x = \frac{y - 3}{2}$
Ecuația are o singură soluție, dar ea contează doar dacă se află în domeniu:
$-1 \le \frac{y - 3}{2} \le 2$
2. Rezolvăm dubla inegalitate
Înmulțim cu $2$ (număr pozitiv, sensul rămâne), apoi adunăm $3$ în toți membrii (din gimnaziu).
Verifică-te
Ce valori poate lua $y$ ?
$\mathrm{Im}(f) = [1, 7]$
3. Verificare pe grafic
Capetele domeniului dau capetele imaginii: ${f(-1) = -2 + 3 = 1}$ și ${f(2) = 4 + 3 = 7}$ . Graficul este un segment, cu ambele capete incluse.
Domeniul $[-1, 2]$ pe $Ox$ este dus de $f$ în imaginea $[1, 7]$ pe $Oy$ .

Răspuns

{\mathrm{Im}(f) = [1, 7]}