Manual · pagina 61

Exercițiul 17 · Restricția cu o imagine dată

Se consideră funcția

{f : \mathbb Q \to \mathbb Q}

{f(x) = x + 2}

. Dă exemple de restricții ale acestei funcții, apoi determină restricția care să aibă imaginea

\{1, 3\}

Pentru ${f : \mathbb Q \to \mathbb Q}$ , ${f(x) = x + 2}$ , dă exemple de restricții și găsește restricția cu imaginea $\{1, 3\}$ .

O restricție păstrează legea

x + 2

, dar are un domeniu mai mic. Ce numere trebuie puse în domeniu ca să obții exact valorile

1

și

3

1. Ce este o restricție
Restricția unei funcții (manual, p. 58)
Pentru ${f : A \to B}$ și $A' \subset A$ , funcția ${g : A' \to B}$ , ${g(x) = f(x)}$ pentru orice ${x \in A'}$ , este restricția lui $f$ la $A'$ . Legea și codomeniul rămân, doar domeniul se micșorează.
Câteva exemple pentru ${f(x) = x + 2}$ :
${g_1 : \mathbb Z \to \mathbb Q}$ , ${g_1(x) = x + 2}$ (restricția la numerele întregi).
${g_2 : \mathbb N \to \mathbb Q}$ , ${g_2(x) = x + 2}$ .
${g_3 : \{0, 1, 2\} \to \mathbb Q}$ , ${g_3(x) = x + 2}$ .
Verifică-te
Care este imaginea restricției ${g_3 : \{0, 1, 2\} \to \mathbb Q}$ ?
2. Cine ajunge în $1$ și în $3$
Căutăm un domeniu $A' \subset \mathbb Q$ pentru care valorile $x + 2$ sunt exact $1$ și $3$ . Întâi aflăm ce elemente au aceste imagini, adică preimaginile lui $1$ și $3$ (manual, p. 58).
Verifică-te
Pentru ce $x$ avem ${x + 2 = 1}$ ?
La fel, ${x + 2 = 3}$ dă ${x = 1}$ . Deci $-1$ și $1$ trebuie să fie în domeniul restricției.
3. Nimic în plus în domeniu
Verifică-te
Poate domeniul restricției să conțină, pe lângă $-1$ și $1$ , și numărul $0$ ?
Domeniul este deci exact $\{-1, 1\}$ , iar restricția căutată este:
$g : \{-1, 1\} \to \mathbb Q,\quad g(x) = x + 2$
Restricția $g$ : ${-1 \mapsto 1}$ și ${1 \mapsto 3}$ , deci ${\mathrm{Im}(g) = \{1, 3\}}$ .

Răspuns

Exemple de restricții: ${g_1 : \mathbb Z \to \mathbb Q}$ , ${g_2 : \mathbb N \to \mathbb Q}$ , ${g_3 : \{0, 1, 2\} \to \mathbb Q}$ , toate cu legea $x + 2$ .

Restricția cu imaginea $\{1, 3\}$ este ${g : \{-1, 1\} \to \mathbb Q}$ , ${g(x) = x + 2}$ .

Exercițiul 17 · Restricția cu o imagine dată

Pentru f:Q→Q{f : \mathbb Q \to \mathbb Q}f:Q→Q, f(x)=x+2{f(x) = x + 2}f(x)=x+2, dă exemple de restricții și găsește restricția cu imaginea {1,3}\{1, 3\}{1,3}.

1. Ce este o restricție ✓

2. Cine ajunge în 111 și în 333 ✓

3. Nimic în plus în domeniu ✓

Pentru ${f : \mathbb Q \to \mathbb Q}$ , ${f(x) = x + 2}$ , dă exemple de restricții și găsește restricția cu imaginea $\{1, 3\}$ .

1. Ce este o restricție

2. Cine ajunge în $1$ și în $3$

3. Nimic în plus în domeniu