MateClar
← Capitol

Manual · pagina 61

Exercițiul 18 · Mingea de baschet la 3 metri

O colegă modelează traiectoria mingii aruncate la un coș de baschet, unde f(x)f(x) este înălțimea (în metri) la care se află mingea în funcție de distanța orizontală xx (în metri) față de punctul de aruncare. Funcția este f(x)=−x2+4x{f(x) = -x^2 + 4x}, domeniul de definiție este D=[0,4]{D = [0, 4]}. Determină preimaginea înălțimii de 3 metri.

Pentru f:[0,4]→R{f : [0, 4] \to \mathbb R}, f(x)=−x2+4x{f(x) = -x^2 + 4x} (înălțimea mingii), determină f−1({3})f^{-1}(\{3\}).

Preimaginea lui 33 conține toate distanțele xx din [0,4][0, 4] la care mingea este la 33 metri. Scrie ecuația și descompune în factori.

  1. 1. Ce înseamnă preimaginea lui 3

    Aici căutăm toate distanțele x∈[0,4]{x \in [0, 4]} la care mingea se află la înălțimea de 33 m, adică soluțiile din [0,4][0, 4] ale ecuației:
    −x2+4x=3  ⟺  x2−4x+3=0-x^2 + 4x = 3 \iff x^2 - 4x + 3 = 0
    Am trecut totul în membrul drept, ca x2x^2 să aibă semnul plus.

  2. 2. Descompunem în factori

    Scriem −4x=−x−3x{-4x = -x - 3x} și grupăm termenii câte doi (din gimnaziu):
    x2−4x+3=x2−x−3x+3=x(x−1)−3(x−1)\begin{aligned} &x^2 - 4x + 3 \\ &\quad = x^2 - x - 3x + 3 \\ &\quad = x(x - 1) - 3(x - 1) \end{aligned}

    Verifică-te

    Ce obții după ce scoți factorul comun x−1x - 1?
    Un produs este 00 când unul dintre factori este 00, deci x=1{x = 1} sau x=3{x = 3}.

  3. 3. Soluțiile sunt în domeniu?

    Ambele soluții sunt în D=[0,4]{D = [0, 4]}, deci amândouă fac parte din preimagine. Verificare: f(1)=−1+4=3{f(1) = -1 + 4 = 3} și f(3)=−9+12=3{f(3) = -9 + 12 = 3}.
    f−1({3})={1,3}f^{-1}(\{3\}) = \{1, 3\}
    −112345−112345Oxy
    ff
    (1,3)(1, 3)
    (3,3)(3, 3)

    Dreapta y=3{y = 3} taie graficul de două ori. Mingea este la 33 m: la urcare, la 11 m de punctul de aruncare, și la coborâre, la 33 m.

Răspuns
f−1({3})={1,3}{f^{-1}(\{3\}) = \{1, 3\}}: mingea se află la 33 m înălțime când distanța orizontală este 11 m (la urcare) și 33 m (la coborâre).