Manual · pagina 61

Exercițiul 19 · Cardul de autobuz al lui Andrei

Andrei folosește autobuzul pentru a ajunge la liceu. El are un card de transport reîncărcabil. Costul inițial al cardului este de 15 lei (taxă pe care o plătește o singură dată la început, contravaloarea cardului), iar costul unei călătorii este de 3 lei. Andrei și-a propus să nu cheltuie mai mult de 105 lei pe transport, incluzând și costul inițial al cardului.

a) Definește o lege $f(x)$ care exprimă costul total pentru transport (în lei) necesar lui Andrei, în funcție de numărul de călătorii efectuate ( $x$ ).

b) Stabilește domeniul de definiție $D$ al funcției, ținând cont de bugetul maxim propus de Andrei (105 lei) și de faptul că numărul de călătorii este un număr întreg și pozitiv.

c) Determină imaginea funcției, $\mathrm{Im}(f)$ , adică mulțimea tuturor costurilor totale posibile pe care le poate avea Andrei, respectând bugetul propus.

a)Definește legea $f(x)$ : costul total (în lei) pentru $x$ călătorii.

Calculează costul pentru

0

1

2

călătorii. Ce se adaugă la fiecare călătorie și ce rămâne la fel?

1. Câteva cazuri concrete
Cardul se plătește o singură dată, apoi fiecare călătorie adaugă $3$ lei:
Călătorii $0$ $1$ $2$ $3$
Cost total (lei) $15$ $18$ $21$ $24$
Verifică-te
Cât costă în total $4$ călătorii, cu tot cu cardul?
2. Legea funcției
Pentru $x$ călătorii plătește $3$ lei de $x$ ori, plus o dată $15$ lei pe card:
$f(x) = 3x + 15$
Ca la abonamentul de date (manual, p. 58–59)
Manualul modelează costul abonamentului prin ${C(x) = 5x + 30}$ : coeficientul lui $x$ este costul pentru fiecare unitate în plus, iar termenul liber este costul fix. Aici $3$ lei este costul unei călătorii, iar $15$ lei costul fix, al cardului.

Călătorii	$0$	$1$	$2$	$3$
Cost total (lei)	$15$	$18$	$21$	$24$

Răspuns

{f(x) = 3x + 15}

, unde

x

este numărul de călătorii.

b)Stabilește domeniul $D$ , știind că bugetul este de cel mult 105 lei și $x$ este un număr întreg și pozitiv.

Două condiții:

x

este un număr de călătorii (întreg, nu negativ), iar costul

3x + 15

nu trece de

105

1. Ce condiții are $x$
Domeniul conține toate valorile lui $x$ care au sens în problemă (ca la abonamentul de date, manual, p. 59):
$x$ este un număr de călătorii, deci un număr întreg și pozitiv.
Costul total nu depășește bugetul: ${3x + 15 \le 105}$ .
Și ${x = 0}$ ?
În matematica românească, „pozitiv” înseamnă de obicei ${\ge 0}$ , iar „strict pozitiv” înseamnă ${> 0}$ . Și situația are sens: cu $0$ călătorii Andrei a plătit doar cardul, $15$ lei. Răspunsurile manualului includ și $0$ în domeniu.
2. Bugetul
Rezolvăm inecuația (din gimnaziu): scădem $15$ , apoi împărțim la $3$ .
$3x + 15 \le 105 \iff 3x \le 90$
Verifică-te
Care este cel mai mare număr de călătorii pe care și-l permite Andrei?
3. Domeniul
$x$ este un număr întreg cu ${0 \le x \le 30}$ , deci:
$D = \{0, 1, 2, \dots, 30\}$
Domeniul are $31$ de elemente. Este o mulțime finită de numere naturale, nu un interval: ${x = 2{,}5}$ călătorii nu are sens.

Răspuns

{D = \{0, 1, 2, \dots, 30\}}

c)Determină $\mathrm{Im}(f)$ , mulțimea costurilor totale posibile, pentru ${f(x) = 3x + 15}$ pe ${D = \{0, 1, \dots, 30\}}$ .

Domeniul este finit: imaginea conține câte o valoare pentru fiecare

x

din

D

. De la o valoare la următoarea, cu cât crește costul?

1. Valorile, una câte una
Imaginea unei funcții (manual, p. 56)
$\mathrm{Im}(f) = \{f(x) \mid x \in D\}$ , mulțimea valorilor obținute efectiv. Pe un domeniu finit le calculăm pe toate, ca în exercițiul rezolvat 1 (manual, p. 59).
Prima valoare este ${f(0) = 15}$ , ultima ${f(30) = 105}$ , iar la fiecare călătorie în plus costul crește cu $3$ : $15, 18, 21, \dots, 105$ .
Verifică-te
Câte elemente are $\mathrm{Im}(f)$ ?
2. Ce costuri nu sunt posibile
Verifică-te
Poate costul total să fie de $50$ de lei?
Primele $11$ puncte ale graficului ( $x$ de la $0$ la $10$ ). Graficul întreg are $31$ de puncte izolate, nu este o dreaptă; costurile sunt ordonatele lor, din $3$ în $3$ .
3. Imaginea
$\begin{aligned} \mathrm{Im}(f) &= \{15, 18, 21, \dots, 105\} \\ &= \{3x + 15 \mid x \in D\} \end{aligned}$
Costurile posibile sunt termenii unei progresii aritmetice cu primul termen $15$ și rația $3$ (din capitolul 2), până la $105$ .

Răspuns

\mathrm{Im}(f) = \{15, 18, 21, \dots, 105\}

, adică

31

de costuri, din

3

în

3

lei.

Exercițiul 19 · Cardul de autobuz al lui Andrei

a)Definește legea f(x)f(x)f(x): costul total (în lei) pentru xxx călătorii.

1. Câteva cazuri concrete ✓

2. Legea funcției ✓

b)Stabilește domeniul DDD, știind că bugetul este de cel mult 105 lei și xxx este un număr întreg și pozitiv.

1. Ce condiții are xxx ✓

2. Bugetul ✓

3. Domeniul ✓

c)Determină Im(f)\mathrm{Im}(f)Im(f), mulțimea costurilor totale posibile, pentru f(x)=3x+15{f(x) = 3x + 15}f(x)=3x+15 pe D={0,1,…,30}{D = \{0, 1, \dots, 30\}}D={0,1,…,30}.

1. Valorile, una câte una ✓

2. Ce costuri nu sunt posibile ✓

3. Imaginea ✓

a)Definește legea $f(x)$ : costul total (în lei) pentru $x$ călătorii.

1. Câteva cazuri concrete

2. Legea funcției

b)Stabilește domeniul $D$ , știind că bugetul este de cel mult 105 lei și $x$ este un număr întreg și pozitiv.

1. Ce condiții are $x$

2. Bugetul

3. Domeniul

c)Determină $\mathrm{Im}(f)$ , mulțimea costurilor totale posibile, pentru ${f(x) = 3x + 15}$ pe ${D = \{0, 1, \dots, 30\}}$ .

1. Valorile, una câte una

2. Ce costuri nu sunt posibile

3. Imaginea