MateClar
← Capitol

Manual · pagina 61

Exercițiul 20 · f(x+y)=f(x)+f(y){f(x + y) = f(x) + f(y)}, prin inducție

Se consideră funcția f:N→N{f : \mathbb N \to \mathbb N} care verifică relația f(x+y)=f(x)+f(y){f(x + y) = f(x) + f(y)}, pentru orice x,y∈N{x, y \in \mathbb N}, și pentru care f(1)=3{f(1) = 3}. Demonstrează prin inducție că, pentru orice numere naturale x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n,

f(x1+x2+⋯+xn)=f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn).\begin{aligned} &f(x_1 + x_2 + \dots + x_n) \\ &\quad = f(x_1) + f(x_2) + \dots + f(x_n). \end{aligned}

Calculează f(2 030)f(2\,030).

Dacă f(x+y)=f(x)+f(y){f(x + y) = f(x) + f(y)} și f(1)=3{f(1) = 3}, arată prin inducție că ff „desface” orice sumă de nn termeni, apoi calculează f(2 030)f(2\,030).

O sumă de k+1k + 1 termeni este o sumă de doi termeni: primii kk grupați împreună, plus ultimul. Pentru f(2 030)f(2\,030), scrie 2 0302\,030 ca o sumă de 11.

  1. 1. Ce demonstrăm și cu ce metodă

    Relația dată „desface” o sumă de doi termeni. Vrem același lucru pentru o sumă de oricâți termeni. Pentru n≥1{n \ge 1}, notăm cu P(n)P(n) propoziția: pentru orice x1,…,xn∈N{x_1, \dots, x_n \in \mathbb N},
    f(x1+⋯+xn)=f(x1)+⋯+f(xn)\begin{aligned} &f(x_1 + \dots + x_n) \\ &\quad = f(x_1) + \dots + f(x_n) \end{aligned}
    Etapa I. P(1)P(1) spune f(x1)=f(x1){f(x_1) = f(x_1)}, ceea ce este adevărat. (Iar P(2)P(2) este chiar relația din enunț.)

  2. 2. Etapa II, de la kk la k+1k + 1 termeni

    Presupunem P(k)P(k) adevărată și luăm k+1k + 1 numere naturale x1,…,xk+1x_1, \dots, x_{k+1}. Relația din enunț știe să desfacă doar o sumă de doi termeni, iar ipoteza P(k)P(k) o sumă de kk termeni. Trebuie să le legăm.

    Verifică-te

    Ce valori dăm lui xx și yy în relația f(x+y)=f(x)+f(y){f(x + y) = f(x) + f(y)}, ca să o aplicăm sumei x1+⋯+xk+1x_1 + \dots + x_{k+1} și apoi să putem folosi P(k)P(k)?
    Grupăm primii kk termeni: s=x1+⋯+xk{s = x_1 + \dots + x_k} este tot un număr natural, iar suma tuturor este s+xk+1s + x_{k+1}. Desfacem cu relația din enunț, apoi folosim ipoteza de inducție P(k)P(k) pentru f(s)f(s):
    f(x1+⋯+xk+1)=f(s)+f(xk+1)=f(x1)+⋯+f(xk)+f(xk+1)\begin{aligned} &f(x_1 + \dots + x_{k+1}) \\ &\quad = f(s) + f(x_{k+1}) \\ &\quad = f(x_1) + \dots + f(x_k) \\ &\qquad + f(x_{k+1}) \end{aligned}
    Aceasta este P(k+1)P(k + 1). Din etapele I și II, P(n)P(n) este adevărată pentru orice n≥1{n \ge 1}.

  3. 3. Calculăm f(2 030)f(2\,030)

    Scriem 2 0302\,030 ca sumă de 2 0302\,030 de termeni egali cu 11 și aplicăm P(2 030)P(2\,030):
    f(2 030)=f(1+1+⋯+1⏟2 030)=f(1)+⋯+f(1)⏟2 030\begin{aligned} f(2\,030) &= f(\underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{2\,030}) \\ &= \underbrace{f(1) + \dots + f(1)}_{2\,030} \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este f(2 030)f(2\,030)?
Răspuns
Prin inducție, f(x1+⋯+xn)=f(x1)+⋯+f(xn)f(x_1 + \dots + x_n) = f(x_1) + \dots + f(x_n) pentru orice n≥1{n \ge 1} și orice x1,…,xn∈N{x_1, \dots, x_n \in \mathbb N}. Apoi f(2 030)=2 030⋅f(1)=6 090f(2\,030) = 2\,030 \cdot f(1) = 6\,090.