Manual · pagina 62

Exercițiul 21 · Imaginea unei funcții raționale

(Activitate în pereche) Determinați imaginea funcției

{f : \mathbb R \to \mathbb R}

{f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}}

. Comparați strategia voastră cu a altor perechi.

Determină imaginea funcției ${f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}}$ , ${f : \mathbb R \to \mathbb R}$ .

Pentru un

y

fixat, scrie ecuația

{f(x) = y}

fără fracție și scoate

x^2

. Când are soluții ecuația

{x^2 = c}

1. Ecuația ${f(x) = y}$ , fără fracție
Imaginea unei funcții (manual, p. 56)
${y \in \mathrm{Im}(f)}$ exact când ecuația ${f(x) = y}$ are cel puțin o soluție reală. Așa sunt rezolvate exercițiile 3 și 4 de la p. 60.
Numitorul $x^2 + 1$ este cel puțin $1$ , deci nu se anulează. Înmulțim cu el:
$\begin{aligned} &\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = y \\ &\iff x^2 - 1 = y(x^2 + 1) \\ &\iff x^2 - 1 = yx^2 + y \end{aligned}$
Verifică-te
Ce obții dacă aduci termenii cu $x^2$ în stânga și restul în dreapta?
2. Cazul ${y = 1}$ și cazul ${y \ne 1}$
Dacă ${y = 1}$ , ecuația ${x^2(1 - y) = 1 + y}$ devine ${0 = 2}$ , imposibil. Deci ${1 \notin \mathrm{Im}(f)}$ .
Dacă ${y \ne 1}$ , împărțim la ${1 - y \ne 0}$ :
$x^2 = \frac{1 + y}{1 - y}$
Ecuația ${x^2 = c}$ (din gimnaziu)
Are soluțiile ${x = \pm\sqrt c}$ dacă ${c \ge 0}$ și nicio soluție reală dacă ${c < 0}$ .
Deci ${y \in \mathrm{Im}(f)}$ exact când ${\dfrac{1 + y}{1 - y} \ge 0}$ .
3. Semnul câtului
Un cât este ${\ge 0}$ când numărătorul și numitorul au același semn, sau când numărătorul este $0$ (din gimnaziu). Numitorul $1 - y$ este pozitiv pentru ${y < 1}$ și negativ pentru ${y > 1}$ .
Verifică-te
Pentru ce valori ale lui $y$ este ${\dfrac{1 + y}{1 - y} \ge 0}$ ?
$\mathrm{Im}(f) = [-1, 1)$
4. Verificare și altă strategie
Câteva valori din imagine și cine le dă: ${y = -1}$ din ${x = 0}$ ; ${y = 0}$ din ${x = \pm 1}$ ; ${y = \frac12}$ din ${x^2 = 3}$ , adică ${x = \pm\sqrt3}$ .
Graficul coboară cel mai jos în $(0, -1)$ și, spre ambele capete, se apropie de dreapta ${y = 1}$ fără s-o atingă: imaginea este $[-1, 1)$ .
Strategia altei perechi
Se poate scrie
$\begin{aligned} f(x) &= \frac{(x^2 + 1) - 2}{x^2 + 1} \\ &= 1 - \frac{2}{x^2 + 1}. \end{aligned}$
Cum ${x^2 + 1 \ge 1}$ , avem ${0 < \frac{2}{x^2 + 1} \le 2}$ , deci ${-1 \le f(x) < 1}$ .
Atenție: așa afli doar că valorile sunt în $[-1, 1)$ . Că fiecare număr din $[-1, 1)$ este atins o arată ecuația ${x^2 = \frac{1 + y}{1 - y}}$ de mai sus.

Răspuns

{\mathrm{Im}(f) = [-1, 1)}

Exercițiul 21 · Imaginea unei funcții raționale

Determină imaginea funcției f(x)=x2−1x2+1{f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}}f(x)=x2+1x2−1​, f:R→R{f : \mathbb R \to \mathbb R}f:R→R.

1. Ecuația f(x)=y{f(x) = y}f(x)=y, fără fracție ✓

2. Cazul y=1{y = 1}y=1 și cazul y≠1{y \ne 1}y=1 ✓

3. Semnul câtului ✓

4. Verificare și altă strategie ✓

Determină imaginea funcției ${f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}}$ , ${f : \mathbb R \to \mathbb R}$ .

1. Ecuația ${f(x) = y}$ , fără fracție

2. Cazul ${y = 1}$ și cazul ${y \ne 1}$

3. Semnul câtului

4. Verificare și altă strategie