Manual · pagina 62

Exercițiul 23 · Funcții de gradul I cu $f(x^2) = x \cdot f(x)$

Determină toate funcțiile

f : \mathbb R \to \mathbb R

f(x) = ax + b

, cu

a, b \in \mathbb R

, astfel încât

f(x^2) = x \cdot f(x)

pentru orice

x \in \mathbb R

Determină toate funcțiile $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = ax + b$ ( $a, b \in \mathbb R$ ), astfel încât $f(x^2) = x \cdot f(x)$ pentru orice $x \in \mathbb R$ .

Relația trebuie să fie adevărată pentru orice

x

, deci și pentru o valoare foarte simplă a lui

x

. Pentru care

x

membrul drept devine imediat

0

1. Scriem cei doi membri
Se cer numerele $a$ și $b$ pentru care egalitatea $f(x^2) = x \cdot f(x)$ este adevărată pentru toate numerele reale $x$ .
Membrul stâng: în $f(x) = ax + b$ scrii $x^2$ în locul lui $x$ , deci $f(x^2) = ax^2 + b$ .
Verifică-te
Cât este membrul drept, $x \cdot f(x)$ ?
2. Alegem o valoare convenabilă a lui $x$
Egalitatea $ax^2 + b = ax^2 + bx$ trebuie să fie adevărată pentru orice $x$ . Atunci e adevărată și pentru valori particulare, alese ca să dea informații ușor de citit. Aceasta este ideea substituției în ecuațiile funcționale (manualul dă la p. 57 un exemplu de funcție descrisă printr-o ecuație funcțională).
Cea mai simplă alegere este $x = 0$ , unde membrul drept $x \cdot f(x)$ devine $0$ .
Verifică-te
Ce obții pentru $x = 0$ ?
3. Verificăm că $b = 0$ ajunge
Am găsit o condiție necesară: $b = 0$ . Mai trebuie văzut dacă funcțiile $f(x) = ax$ chiar verifică relația, pentru orice $x$ , și ce condiție mai apare pentru $a$ .
Verifică-te
Care dintre funcțiile următoare verifică $f(x^2) = x \cdot f(x)$ pentru orice $x$ ?
În general, pentru $f(x) = ax$ : $f(x^2) = ax^2$ și $x \cdot f(x) = x \cdot ax = ax^2$ . Cei doi membri sunt egali pentru orice $x$ , oricare ar fi $a$ . Funcția nulă, $f(x) = 0$ , este și ea în familie ( $a = 0$ ).

Răspuns

Funcțiile căutate sunt

f(x) = ax

, cu

a \in \mathbb R

oarecare (adică

b = 0