MateClar
← Capitol

Manual · pagina 62

Exercițiul 24 · Scorul de popularitate al unei aplicații

Un dezvoltator de aplicații pentru telefoane folosește o funcție pentru a modela scorul de popularitate f(x)f(x) al unei noi aplicații, în funcție de numărul de zile xx de la lansare. Scorul este influențat de recenzii și promoții. Funcția este definită pe ramuri pe domeniul D=[0,∞)D = [0, \infty):

f(x)={4x+10,0≤x≤5−2x+40,x>5f(x) = \begin{cases} 4x + 10, & 0 \le x \le 5 \\ -2x + 40, & x > 5 \end{cases}

Determină toate momentele xx la care scorul aplicației a fost egal cu 3030.

Scorul de popularitate al unei aplicații, la xx zile de la lansare, este f:[0,∞)→Rf : [0, \infty) \to \mathbb R, f(x)=4x+10f(x) = 4x + 10 dacă 0≤x≤50 \le x \le 5 și f(x)=−2x+40f(x) = -2x + 40 dacă x>5x > 5. Determină toate momentele xx la care scorul a fost egal cu 3030.

Rezolvă f(x)=30f(x) = 30 pe fiecare ramură separat. O soluție găsită pe o ramură contează doar dacă se află în intervalul acelei ramuri.

  1. 1. Ce se cere

    Momentele xx cu scorul f(x)=30f(x) = 30 formează preimaginea lui 3030.
    Funcția are două ramuri, cu formule diferite pe intervale diferite. Rezolvăm ecuația pe fiecare ramură și păstrăm doar soluțiile din intervalul ramurii respective.

  2. 2. Prima ramură, 0≤x≤50 \le x \le 5

    Aici f(x)=4x+10f(x) = 4x + 10, deci rezolvăm 4x+10=304x + 10 = 30.

    Verifică-te

    Ce soluție are 4x+10=304x + 10 = 30 și convine ea?

  3. 3. A doua ramură, x>5x > 5

    Aici f(x)=−2x+40f(x) = -2x + 40. Din −2x+40=30-2x + 40 = 30 obții −2x=−10-2x = -10, adică tot x=5x = 5.

    Verifică-te

    Ce faci cu soluția x=5x = 5 găsită pe a doua ramură?

  4. 4. Pe grafic

    246810121416182022510152025303540Oxy
    4x+104x + 10
    −2x+40-2x + 40
    y=30y = 30
    (5,30)(5, 30)

    Scorul crește până în ziua 55, apoi scade. Dreapta y=30y = 30 atinge graficul într-un singur punct.

    Scorul crește de la 1010 la 3030 în primele 55 zile, apoi scade cu 22 puncte pe zi. Valoarea 3030 este scorul maxim și este atinsă o singură dată.
Răspuns
Scorul a fost egal cu 3030 într-un singur moment: x=5x = 5 (ziua a cincea). Deci f−1({30})={5}f^{-1}(\{30\}) = \{5\}.