MateClar
← Capitol

Manual · pagina 62

Exercițiul 25 · O ecuație funcțională cu f(1−x)f(1 - x)

Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R, care verifică relația

x⋅f(x)+2⋅f(1−x)=x2+1x \cdot f(x) + 2 \cdot f(1 - x) = x^2 + 1

pentru orice x∈Rx \in \mathbb R.

Determină expresia analitică a funcției ff.

Funcția f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R verifică, pentru orice x∈Rx \in \mathbb R, relația xf(x)+2f(1−x)=x2+1x f(x) + 2f(1 - x) = x^2 + 1. Determină expresia analitică a funcției ff.

Relația leagă două necunoscute, f(x)f(x) și f(1−x)f(1 - x). Scrie relația și pentru 1−x1 - x în locul lui xx: obții o a doua ecuație cu aceleași două necunoscute.

  1. 1. Ideea, o a doua ecuație

    Se cere formula lui f(x)f(x). Relația este o ecuație funcțională (un mod de a descrie o funcție amintit de manual la p. 57).

    Pentru un xx fixat, relația are două necunoscute: numerele f(x)f(x) și f(1−x)f(1 - x). O singură ecuație nu ajunge. Dar relația e adevărată pentru orice număr, deci și pentru numărul 1−x1 - x.

    Verifică-te

    Ce devine relația dacă scrii 1−x1 - x în locul lui xx, peste tot?

  2. 2. Sistemul

    Notăm u=f(x)u = f(x) și v=f(1−x)v = f(1 - x). Membrul drept al ecuației noi se simplifică:

    Verifică-te

    Cât este (1−x)2+1(1 - x)^2 + 1?
    Obținem un sistem de două ecuații cu necunoscutele uu și vv (coeficienții depind de xx):
    (1) ⁣: x u+2v=x2+1(2) ⁣: 2u+(1−x) v=x2−2x+2\begin{aligned} (1)\colon\ & x\,u + 2v = x^2 + 1 \\ (2)\colon\ & 2u + (1 - x)\,v \\ & \quad = x^2 - 2x + 2 \end{aligned}

  3. 3. Eliminăm v=f(1−x)v = f(1 - x)

    Metoda reducerii (din gimnaziu): înmulțim (1)(1) cu 1−x1 - x și (2)(2) cu 22, ca vv să aibă același coeficient, 2(1−x)2(1 - x), apoi scădem (2)(2) din (1)(1):
    (x(1−x)−4) u=(1−x)(x2+1)−2(x2−2x+2)\begin{aligned} &\bigl(x(1 - x) - 4\bigr)\,u \\ &\quad = (1 - x)(x^2 + 1) \\ &\qquad - 2(x^2 - 2x + 2) \end{aligned}
    Desfăcând primul produs:
    (1−x)(x2+1)=−x3+x2−x+1\begin{aligned} &(1 - x)(x^2 + 1) \\ &\quad = -x^3 + x^2 - x + 1 \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este A−2(x2−2x+2)A - 2(x^2 - 2x + 2), unde A=−x3+x2−x+1A = -x^3 + x^2 - x + 1?
    Coeficientul din stânga se scrie mai simplu:
    x(1−x)−4=−x2+x−4=−(x2−x+4)\begin{aligned} &x(1 - x) - 4 \\ &\quad = -x^2 + x - 4 \\ &\quad = -(x^2 - x + 4) \end{aligned}
    Împărțim ambii membri prin −(x2−x+4)-(x^2 - x + 4); minusurile se simplifică:
    f(x)=u=x3+x2−3x+3x2−x+4f(x) = u = \dfrac{x^3 + x^2 - 3x + 3}{x^2 - x + 4}

  4. 4. Numitorul și verificarea

    Am împărțit prin x2−x+4x^2 - x + 4, deci el nu are voie să fie 00. Prin restrângerea pătratului (din gimnaziu):
    x2−x+4=(x−12)2+154>0\begin{aligned} &x^2 - x + 4 \\ &\quad = \Bigl(x - \frac12\Bigr)^2 + \frac{15}4 > 0 \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este f(0)f(0), după formula găsită?

    Verificăm direct în relație. Pentru x=0x = 0: 2f(1)=12f(1) = 1, deci f(1)=12f(1) = \frac12; formula dă f(1)=24=12f(1) = \frac{2}{4} = \frac12. Pentru x=1x = 1: f(1)+2f(0)=2f(1) + 2f(0) = 2, adică 12+32=2\frac12 + \frac32 = 2.

    În general, eliminând uu la fel (înmulțești (1)(1) cu 22 și (2)(2) cu xx), obții

    v=−x3+4x2−2x+2x2−x+4v = \dfrac{-x^3 + 4x^2 - 2x + 2}{x^2 - x + 4}
    Aceasta este exact formula găsită, calculată în 1−x1 - x. Deci perechea f(x)f(x), f(1−x)f(1 - x) verifică ambele ecuații pentru orice xx: funcția găsită chiar satisface relația.

  5. 5. Despre răspunsul din manual

    Manualul dă f(x)=x+1f(x) = x + 1. Funcția aceasta nu verifică relația tipărită: pentru x=0x = 0 relația cere f(1)=12f(1) = \frac12, iar x+1x + 1 dă f(1)=2f(1) = 2. În general, x(x+1)+2(2−x)=x2−x+4x(x + 1) + 2(2 - x) = x^2 - x + 4, nu x2+1x^2 + 1.

    Probabil enunțul a fost altul. De exemplu, x⋅f(x)+f(−x)=x2+1x \cdot f(x) + f(-x) = x^2 + 1 are chiar soluția x+1x + 1: cu substituția x→−xx \to -x obții f(x)−xf(−x)=x2+1f(x) - x f(-x) = x^2 + 1, iar din cele două ecuații rezultă (x2+1)f(x)=(x2+1)(x+1)(x^2 + 1) f(x) = (x^2 + 1)(x + 1).

Răspuns
f(x)=x3+x2−3x+3x2−x+4f(x) = \frac{x^3 + x^2 - 3x + 3}{x^2 - x + 4} pentru orice x∈Rx \in \mathbb R (numitorul este mereu pozitiv).