MateClar
← Capitol

Manual · pagina 62

Exercițiul 26 · Mulțimi pe care există ff cu f(f(x))=xf(f(x)) = x

Determină toate mulțimile finite A⊂ZA \subset \mathbb Z pe care poate fi definită o funcție f:A→Af : A \to A care verifică proprietatea f(f(x))=xf(f(x)) = x pentru orice x∈Ax \in A.

Determină toate mulțimile finite A⊂ZA \subset \mathbb Z pe care poate fi definită o funcție f:A→Af : A \to A cu f(f(x))=xf(f(x)) = x pentru orice x∈Ax \in A.

Citește atent: pentru o mulțime AA dată, ajunge să găsești o singură funcție cu proprietatea. Care este cea mai simplă funcție de la AA la AA?

  1. 1. Ce se cere de fapt

    Pentru fiecare mulțime finită AA de numere întregi ne întrebăm: „se poate defini” pe ea o funcție f:A→Af : A \to A cu f(f(x))=xf(f(x)) = x? Adică: există măcar una?

    Verifică-te

    Ce trebuie arătat, pentru o mulțime AA dată, ca ea să fie în răspuns?

  2. 2. Încercăm pe A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}

    Verifică-te

    Care dintre funcțiile f:{1,2,3}→{1,2,3}f : \{1, 2, 3\} \to \{1, 2, 3\} verifică f(f(x))=xf(f(x)) = x pentru toți xx?

  3. 3. Funcția identică merge pe orice mulțime

    Nimic din exemplul de mai sus nu depinde de faptul că A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\}. Pe orice mulțime AA, funcția identică f(x)=xf(x) = x este o funcție de la AA la AA și verifică f(f(x))=f(x)=xf(f(x)) = f(x) = x.

    Deci orice mulțime finită A⊂ZA \subset \mathbb Z convine. (Chiar și mulțimea vidă, dacă o admitem: nu există niciun xx de verificat.)

    AA
    AA
    f(x)=xf(x) = x
    11
    22
    33
    11
    22
    33

    Funcția identică: fiecare element merge în el însuși.

    Mai există și alte funcții cu proprietatea: de exemplu, una care schimbă între ele două elemente. Sau, pe mulțimi simetrice față de 00, cum este {−2,0,2}\{-2, 0, 2\}, funcția f(x)=−xf(x) = -x.

    Verifică-te

    Pe A={1,2,3}A = \{1, 2, 3\} alegi f(1)=2f(1) = 2 și f(2)=1f(2) = 1. Ce valoare trebuie să aibă f(3)f(3)?
    Toate aceste exemple sunt în plus: pentru răspuns ajunge funcția identică.
Răspuns
Orice mulțime finită A⊂ZA \subset \mathbb Z: pe fiecare, funcția identică f(x)=xf(x) = x verifică f(f(x))=xf(f(x)) = x.