Manual · pagina 62

Exercițiul 27 · Abonamentul de streaming

Alina vrea să se aboneze la o platformă de streaming. Compania care deține platforma are un sistem de tarifare pe bază de consum lunar, structurat pe două trepte: până la 10 ore de vizionare (inclusiv), costul este de 15 lei (un tarif fix, indiferent de timpul de utilizare a platformei), respectiv peste 10 ore de vizionare, aplicându-se, pentru fiecare oră suplimentară care depășește limita de 10 ore, un cost de 2 lei pe oră.

a) Definește legea $f(x)$ care exprimă costul total lunar (în lei) plătit de Alina în funcție de numărul de ore vizionate ( $x$ ).

b) Stabilește domeniul de definiție $D$ al funcției, presupunând că, din motive practice (somn, școală, teme), Alina nu poate viziona mai mult de 80 de ore pe lună.

c) Determină imaginea funcției, $\mathrm{Im}(f)$ , adică mulțimea tuturor costurilor totale posibile pe care le poate plăti Alina.

a)Definește legea $f(x)$ care exprimă costul total lunar (în lei) în funcție de numărul de ore vizionate ( $x$ ).

Sunt două situații, deci două ramuri: cel mult

10

ore și peste

10

ore. Pe a doua, câte ore se plătesc în plus?

1. Două trepte, două ramuri
Se cere o formulă pentru costul $f(x)$ al unei luni cu $x$ ore de vizionare. Tariful se schimbă la $10$ ore, deci legea va fi pe ramuri (ca funcția din exercițiul rezolvat 3 de la p. 60).
Până la $10$ ore inclusiv, costul nu depinde de $x$ : $f(x) = 15$ .
Peste $10$ ore se plătesc $15$ lei plus $2$ lei pentru fiecare oră de peste limită.
Verifică-te
Cât plătește Alina într-o lună cu $25$ de ore de vizionare?
2. Formula pentru $x > 10$
La fel ca pentru $25$ de ore, pentru $x$ ore cu $x > 10$ sunt $x - 10$ ore de peste limită:
$f(x) = 15 + 2(x - 10)$
Verifică-te
Cum se scrie mai simplu $15 + 2(x - 10)$ ?
Legea $f(x)$ este deci:
$\begin{cases} 15, & 0 \le x \le 10 \\ 2x - 5, & x > 10 \end{cases}$
Verificare la limită: pentru $x = 10$ prima ramură dă $15$ , iar $2 \cdot 10 - 5 = 15$ . Cele două formule se „lipesc” fără salt. Și pentru $25$ de ore: $2 \cdot 25 - 5 = 45$ .

Răspuns

f(x) = \begin{cases} 15, & 0 \le x \le 10 \\ 2x - 5, & x > 10 \end{cases}

b)Stabilește domeniul de definiție $D$ , presupunând că Alina nu poate viziona mai mult de $80$ de ore pe lună.

Domeniul este mulțimea valorilor lui

x

care au sens în situația reală. Care este cel mai mic număr de ore posibil? Dar cel mai mare?

1. Ce valori are sens să ia $x$
Domeniul de definiție (manual, p. 56)
Domeniul este mulțimea elementelor $x$ (argumentele) cărora funcția le asociază o valoare. Într-un model real, păstrăm doar valorile care au sens, ca la costul abonamentului de date de la p. 58–59, unde $D = [0, \infty)$ .
$x$ este un timp, măsurat în ore. Poate fi orice număr real nenegativ (de exemplu $2{,}5$ ore), iar Alina nu trece de $80$ de ore.
Verifică-te
Care este domeniul $D$ ?
2. Funcția completă
Cu domeniul stabilit, funcția este $f : [0, 80] \to \mathbb R$ , cu legea de la a), scrisă pe intervalele domeniului:
$\begin{cases} 15, & 0 \le x \le 10 \\ 2x - 5, & 10 < x \le 80 \end{cases}$

Răspuns

D = [0, 80]

c)Determină imaginea funcției, $\mathrm{Im}(f)$ , adică mulțimea tuturor costurilor totale posibile pe care le poate plăti Alina.

Calculează separat imaginea fiecărei ramuri, apoi reunește-le. Pe a doua ramură, un cost

y

apare dacă ecuația

2x - 5 = y

are o soluție în

(10, 80]

1. Imaginea, ramură cu ramură
Imaginea unei mulțimi (manual, p. 56 și p. 60)
$f(C) = \{f(x) \mid x \in C\}$ . Un număr $y$ este în $f(C)$ exact când ecuația $f(x) = y$ are o soluție $x \in C$ . Pentru o funcție pe ramuri, $\mathrm{Im}(f)$ este reuniunea imaginilor ramurilor (exercițiul rezolvat 3, p. 60).
Aici $\mathrm{Im}(f) = f([0, 10]) \cup f((10, 80])$ . Pe $[0, 10]$ costul este mereu $15$ , deci $f([0, 10]) = \{15\}$ .
2. A doua ramură, $10 < x \le 80$
Un cost $y$ apare pe această ramură dacă $2x - 5 = y$ are o soluție în $(10, 80]$ . Soluția este $x = \frac{y + 5}2$ , deci cerem:
$10 < \dfrac{y + 5}2 \le 80$
Verifică-te
Ce valori poate lua $y$ ?
3. Reunim
$\begin{aligned} \mathrm{Im}(f) &= \{15\} \cup (15, 155] \\ &= [15, 155] \end{aligned}$
Costul $15$ , care lipsea de pe a doua ramură, vine de pe prima. Pe grafic, imaginea este „umbra” graficului pe axa $Oy$ :
Costurile posibile acoperă tot intervalul $[15, 155]$ de pe axa $Oy$ .

Răspuns

\mathrm{Im}(f) = [15, 155]

: Alina plătește cel puțin

15

și cel mult

155

de lei pe lună.

Exercițiul 27 · Abonamentul de streaming

a)Definește legea f(x)f(x)f(x) care exprimă costul total lunar (în lei) în funcție de numărul de ore vizionate (xxx).

1. Două trepte, două ramuri ✓

2. Formula pentru x>10x > 10x>10 ✓

b)Stabilește domeniul de definiție DDD, presupunând că Alina nu poate viziona mai mult de 808080 de ore pe lună.

1. Ce valori are sens să ia xxx ✓

2. Funcția completă ✓

c)Determină imaginea funcției, Im(f)\mathrm{Im}(f)Im(f), adică mulțimea tuturor costurilor totale posibile pe care le poate plăti Alina.

1. Imaginea, ramură cu ramură ✓

2. A doua ramură, 10<x≤8010 < x \le 8010<x≤80 ✓

3. Reunim ✓

a)Definește legea $f(x)$ care exprimă costul total lunar (în lei) în funcție de numărul de ore vizionate ( $x$ ).

1. Două trepte, două ramuri

2. Formula pentru $x > 10$

b)Stabilește domeniul de definiție $D$ , presupunând că Alina nu poate viziona mai mult de $80$ de ore pe lună.

1. Ce valori are sens să ia $x$

2. Funcția completă

c)Determină imaginea funcției, $\mathrm{Im}(f)$ , adică mulțimea tuturor costurilor totale posibile pe care le poate plăti Alina.

1. Imaginea, ramură cu ramură

2. A doua ramură, $10 < x \le 80$

3. Reunim