Manual · pagina 62

Exercițiul 28 · Produs cartezian, grafic și numărul de funcții

Se consideră mulțimile $A = \{1, 2, 3\}$ și $B = \{a, b\}$ .

a) Câte elemente conține produsul cartezian $A \times B$ ?

b) Dacă $f : A \to B$ este o funcție, câte elemente conține $G_f$ ?

c) Câte funcții $f : A \to B$ există?

a)Câte elemente conține produsul cartezian $A \times B$ ?

Un element al lui

A \times B

este o pereche: primul loc din

A

, al doilea din

B

. Scrie-le pe toate, ordonat.

1. Ce este $A \times B$
Produsul cartezian
$A \times B$ este mulțimea $\{(x, y) \mid x \in A,\ y \in B\}$ : toate perechile ordonate cu primul element din $A$ și al doilea din $B$ . Manualul îl folosește la p. 63, unde graficul unei funcții este o submulțime a lui $A \times B$ .
2. Numărăm
Fiecare element al lui $A$ formează câte o pereche cu fiecare element al lui $B$ .
Verifică-te
Câte elemente are $A \times B$ ?
Toate perechile, rând cu rând după primul element:
$x$ Perechile
$1$ $(1, a)$ , $(1, b)$
$2$ $(2, a)$ , $(2, b)$
$3$ $(3, a)$ , $(3, b)$
În general, dacă $A$ are $m$ elemente și $B$ are $n$ elemente, $A \times B$ are $m \cdot n$ elemente.

$x$	Perechile
$1$	$(1, a)$ , $(1, b)$
$2$	$(2, a)$ , $(2, b)$
$3$	$(3, a)$ , $(3, b)$

Răspuns

A \times B

are

3 \cdot 2 = 6

elemente:

(1, a)

(1, b)

(2, a)

(2, b)

(3, a)

(3, b)

b)Dacă $f : A \to B$ este o funcție, câte elemente conține $G_f$ ?

În

G_f

apare câte o pereche

(x, f(x))

. Pentru câți

x

? Și câte valori are o funcție într-un punct?

1. Ce este $G_f$
Graficul unei funcții (manual, p. 63)
$G_f = \{(x, f(x)) \mid x \in A\}$ : perechile formate din fiecare element al domeniului și imaginea lui. Este o submulțime a lui $A \times B$ .
Să luăm o funcție oarecare, de exemplu $f(1) = a$ , $f(2) = a$ , $f(3) = b$ :
Din fiecare element al lui $A$ pleacă exact o săgeată.
Verifică-te
Care este graficul $G_f$ al acestei funcții?
2. Pentru orice funcție
O funcție asociază fiecărui element din $A$ un singur element din $B$ (manual, p. 56). Deci din fiecare element al lui $A$ pleacă exact o săgeată, oricare ar fi $f$ .
Deci $G_f$ are câte o pereche pentru fiecare element al lui $A$ , adică $3$ perechi, oricare ar fi funcția: mai multe perechi pot avea aceeași valoare, ca $(1, a)$ și $(2, a)$ , dar niciun $x$ nu apare în două perechi.
Verifică-te
Dacă $A$ ar avea $10$ elemente și $B$ tot $2$ , câte elemente ar avea graficul unei funcții $f : A \to B$ ?

Răspuns

G_f

are

3

elemente, oricare ar fi funcția

f : A \to B

: câte o pereche

(x, f(x))

pentru fiecare

x \in A

c)Câte funcții $f : A \to B$ există?

O funcție este complet stabilită de valorile

f(1)

f(2)

f(3)

. Câte alegeri ai pentru fiecare?

1. O funcție este un tabel de valori
O funcție $f : A \to B$ pe o mulțime finită se descrie printr-un tabel de valori (manual, p. 57): trebuie să spui cât sunt $f(1)$ , $f(2)$ și $f(3)$ . Fiecare poate fi $a$ sau $b$ , independent de celelalte.
Două funcții cu tabele diferite sunt funcții diferite. Deci numărăm tabelele posibile.
Verifică-te
Câte funcții $f : A \to B$ există?
2. Toate cele 8 funcții
Funcția $f(1)$ $f(2)$ $f(3)$
$f_1$ $a$ $a$ $a$
$f_2$ $a$ $a$ $b$
$f_3$ $a$ $b$ $a$
$f_4$ $a$ $b$ $b$
$f_5$ $b$ $a$ $a$
$f_6$ $b$ $a$ $b$
$f_7$ $b$ $b$ $a$
$f_8$ $b$ $b$ $b$
Cu $f(1) = a$ sunt $4$ funcții (primele patru rânduri), cu $f(1) = b$ încă $4$ . În general, dacă $A$ are $m$ elemente și $B$ are $n$ , există $n^m$ funcții $f : A \to B$ .

Funcția	$f(1)$	$f(2)$	$f(3)$
$f_1$	$a$	$a$	$a$
$f_2$	$a$	$a$	$b$
$f_3$	$a$	$b$	$a$
$f_4$	$a$	$b$	$b$
$f_5$	$b$	$a$	$a$
$f_6$	$b$	$a$	$b$
$f_7$	$b$	$b$	$a$
$f_8$	$b$	$b$	$b$

Răspuns

Există

2^3 = 8

funcții

f : A \to B

Exercițiul 28 · Produs cartezian, grafic și numărul de funcții

a)Câte elemente conține produsul cartezian A×BA \times BA×B?

1. Ce este A×BA \times BA×B ✓

2. Numărăm ✓

b)Dacă f:A→Bf : A \to Bf:A→B este o funcție, câte elemente conține GfG_fGf​?

1. Ce este GfG_fGf​ ✓

2. Pentru orice funcție ✓

c)Câte funcții f:A→Bf : A \to Bf:A→B există?

1. O funcție este un tabel de valori ✓

2. Toate cele 8 funcții ✓

a)Câte elemente conține produsul cartezian $A \times B$ ?

1. Ce este $A \times B$

2. Numărăm

b)Dacă $f : A \to B$ este o funcție, câte elemente conține $G_f$ ?

1. Ce este $G_f$

2. Pentru orice funcție

c)Câte funcții $f : A \to B$ există?

1. O funcție este un tabel de valori

2. Toate cele 8 funcții