Manual · pagina 62

Exercițiul 29 · Imaginile a cinci funcții

Determină imaginile următoarelor funcții:

a) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = 2x + 3$ ;

b) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = 3$ ;

c) $f : (1, \infty) \to \mathbb R$ , $f(x) = 3x + 5$ ;

d) $f : \mathbb R \setminus \{1\} \to \mathbb R$ , $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$ ;

e) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^2 - 2x$ .

a) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = 2x + 3$

Un număr

y

este în imagine dacă ecuația

2x + 3 = y

are o soluție reală. Are, pentru orice

y

1. Cum recunoaștem o valoare a funcției
Imaginea funcției (manual, p. 56 și p. 60)
$\mathrm{Im}(f) = \{f(x) \mid x \in A\}$ , unde $A$ este domeniul. Un număr $y$ este în $\mathrm{Im}(f)$ exact când ecuația $f(x) = y$ are cel puțin o soluție $x$ în domeniu. Așa lucrează manualul în exercițiile rezolvate 3 și 4 de la p. 60.
Încercăm întâi cu un număr concret: este $10$ o valoare a lui $f$ ? Căutăm $x$ cu $2x + 3 = 10$ .
Verifică-te
Ce număr $x$ are $f(x) = 10$ ?
2. Orice număr $y$
La fel, pentru un $y$ oarecare, din $2x + 3 = y$ rezultă $x = \frac{y - 3}2$ . Acest număr există pentru orice $y$ real și este în domeniul $\mathbb R$ . Deci orice număr real este o valoare a funcției.
Dreapta urcă fără oprire spre dreapta și coboară fără oprire spre stânga: „umbra” ei pe axa $Oy$ este toată axa.

Răspuns

\mathrm{Im}(f) = \mathbb R

b) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = 3$

Ce valoare are funcția în

x = 0

? Dar în

x = 5

? Ce valori diferite apar?

1. Ce valori ia funcția
Imaginea este mulțimea valorilor $f(x)$ , pentru $x$ din domeniu (manual, p. 56). Formula $f(x) = 3$ nu conține $x$ : oricare ar fi argumentul, rezultatul este același, ca la $\mathrm{Im}(f) = \{4\}$ din exercițiul 6.
Verifică-te
Este $5$ o valoare a funcției, adică există $x$ cu $f(x) = 5$ ?
2. Imaginea
La fel, niciun număr diferit de $3$ nu este valoare, iar $3$ este (de exemplu $f(0) = 3$ ). Graficul este o dreaptă orizontală, iar „umbra” ei pe axa $Oy$ este un singur punct.

Răspuns

\mathrm{Im}(f) = \{3\}

c) $f : (1, \infty) \to \mathbb R$ , $f(x) = 3x + 5$

Rezolvă

3x + 5 = y

și cere ca soluția să fie în domeniu, adică mai mare decât

1

1. Soluția trebuie să fie în domeniu
Un număr $y$ este în $\mathrm{Im}(f)$ dacă $3x + 5 = y$ are o soluție $x$ în domeniul $(1, \infty)$ (manual, p. 60, exercițiul rezolvat 3).
Soluția ecuației este $x = \frac{y - 5}3$ . Ea trebuie să verifice $x > 1$ :
$\dfrac{y - 5}3 > 1$
Verifică-te
Pentru ce valori ale lui $y$ este adevărată inegalitatea?
2. Pe grafic
Graficul este o bucată de dreaptă care pornește din punctul $(1, 8)$ , fără el (cerc gol), și urcă. „Umbra” lui pe axa $Oy$ este intervalul deschis $(8, \infty)$ .
Linia punctată este restul dreptei $y = 3x + 5$ , care nu face parte din grafic: domeniul începe după $1$ .

Răspuns

\mathrm{Im}(f) = (8, \infty)

d) $f : \mathbb R \setminus \{1\} \to \mathbb R$ , $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$

Scrie

\frac{2x + 1}{x - 1} = y

, înmulțește cu

x - 1

și adu termenii cu

x

într-o parte. Atenție la valoarea lui

y

pentru care coeficientul lui

x

se anulează.

1. Ecuația $f(x) = y$
Ca în exercițiile rezolvate de la p. 60, $y \in \mathrm{Im}(f)$ exact când $\frac{2x + 1}{x - 1} = y$ are o soluție $x \ne 1$ . Pentru $x \ne 1$ putem înmulți cu $x - 1$ :
$y(x - 1) = 2x + 1$
Verifică-te
Ce obții dacă desfaci paranteza și aduci termenii cu $x$ în stânga, restul în dreapta?
2. Cazul în care coeficientul lui $x$ este $0$
În $x(y - 2) = y + 1$ nu putem împărți la $y - 2$ dacă $y - 2 = 0$ . Tratăm separat $y = 2$ .
Verifică-te
Este $2$ o valoare a funcției?
3. Cazul $y \ne 2$
Pentru $y \ne 2$ împărțim: $x = \frac{y + 1}{y - 2}$ . Mai trebuie ca $x \ne 1$ . Dacă ar fi $\frac{y + 1}{y - 2} = 1$ , am avea $y + 1 = y - 2$ , adică $1 = -2$ , fals. Deci soluția este mereu în domeniu, și orice $y \ne 2$ este valoare.
Pe grafic se vede de ce lipsește $2$ : scriind $f(x) = 2 + \frac{3}{x - 1}$ , fracția $\frac{3}{x - 1}$ nu este niciodată $0$ . Graficul se apropie oricât de dreapta $y = 2$ , dar nu o atinge.
Graficul are două ramuri, de o parte și de alta a dreptei punctate $x = 1$ . Dreapta punctată orizontală, $y = 2$ , nu întâlnește graficul.

Răspuns

\mathrm{Im}(f) = \mathbb R \setminus \{2\}

e) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^2 - 2x$

Restrânge pătratul: scrie

x^2 - 2x

ca un pătrat plus o constantă. Un pătrat poate lua orice valoare nenegativă, dar nu una negativă.

1. Restrângem pătratul
Ca să vedem ce valori ia $x^2 - 2x$ , îl scriem cu un pătrat (din gimnaziu: $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ ).
Verifică-te
Cum se scrie $x^2 - 2x$ ?
2. Ce valori poate lua
Un număr $y$ este valoare dacă $(x - 1)^2 - 1 = y$ are soluție, adică $(x - 1)^2 = y + 1$ . Manualul face la fel la p. 60 (exercițiul rezolvat 4): ecuația $x^2 = 3 - y$ are soluții reale exact când $3 - y \ge 0$ .
Un pătrat este mereu $\ge 0$ , iar orice număr $\ge 0$ este un pătrat: $(x - 1)^2 = t$ cu $t \ge 0$ are soluția $x = 1 + \sqrt t$ .
Verifică-te
Pentru ce valori ale lui $y$ are soluție $(x - 1)^2 = y + 1$ ?
3. Pe grafic
Cea mai mică valoare, $-1$ , se atinge în $x = 1$ , iar valorile cresc oricât de mult când $x$ se depărtează de $1$ . Proiecția graficului pe $Oy$ este $[-1, \infty)$ .
Punctul cel mai de jos al graficului este $(1, -1)$ .

Răspuns

\mathrm{Im}(f) = [-1, \infty)

Exercițiul 29 · Imaginile a cinci funcții

a)f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3f(x)=2x+3

1. Cum recunoaștem o valoare a funcției ✓

2. Orice număr yyy ✓

b)f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)=3f(x) = 3f(x)=3

1. Ce valori ia funcția ✓

2. Imaginea ✓

c)f:(1,∞)→Rf : (1, \infty) \to \mathbb Rf:(1,∞)→R, f(x)=3x+5f(x) = 3x + 5f(x)=3x+5

1. Soluția trebuie să fie în domeniu ✓

2. Pe grafic ✓

d)f:R∖{1}→Rf : \mathbb R \setminus \{1\} \to \mathbb Rf:R∖{1}→R, f(x)=2x+1x−1f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}f(x)=x−12x+1​

1. Ecuația f(x)=yf(x) = yf(x)=y ✓

2. Cazul în care coeficientul lui xxx este 000 ✓

3. Cazul y≠2y \ne 2y=2 ✓

e)f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb Rf:R→R, f(x)=x2−2xf(x) = x^2 - 2xf(x)=x2−2x

1. Restrângem pătratul ✓

2. Ce valori poate lua ✓

3. Pe grafic ✓

a) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = 2x + 3$

1. Cum recunoaștem o valoare a funcției

2. Orice număr $y$

b) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = 3$

1. Ce valori ia funcția

2. Imaginea

c) $f : (1, \infty) \to \mathbb R$ , $f(x) = 3x + 5$

1. Soluția trebuie să fie în domeniu

2. Pe grafic

d) $f : \mathbb R \setminus \{1\} \to \mathbb R$ , $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$

1. Ecuația $f(x) = y$

2. Cazul în care coeficientul lui $x$ este $0$

3. Cazul $y \ne 2$

e) $f : \mathbb R \to \mathbb R$ , $f(x) = x^2 - 2x$

1. Restrângem pătratul

2. Ce valori poate lua

3. Pe grafic