MateClar
← Capitol

Manual · pagina 60

Exercițiul 3 · Corespondențe între două mulțimi finite

Decide care dintre următoarele corespondențe f:{1,2}→{1,2,3}f: \{1, 2\} \to \{1, 2, 3\} reprezintă o funcție și justifică:

a) f(1)=1f(1) = 1, f(2)=3f(2) = 3;

b) f(1)=2f(1) = 2, f(1)=3f(1) = 3, f(2)=1f(2) = 1.

a)f(1)=1f(1) = 1, f(2)=3f(2) = 3

Desenează săgețile. Câte săgeți pleacă din fiecare element al domeniului {1,2}\{1, 2\}?

  1. 1. Desenăm corespondența

    {1,2}\{1, 2\}
    {1,2,3}\{1, 2, 3\}
    11
    22
    11
    22
    33

    f(1)=1f(1) = 1 și f(2)=3f(2) = 3.

    Din 11 pleacă o singură săgeată (spre 11) și din 22 pleacă o singură săgeată (spre 33). Existența și unicitatea sunt îndeplinite pentru ambele elemente.

  2. 2. Ce se întâmplă cu elementul 2 din codomeniu

    În elementul 22 al codomeniului nu ajunge nicio săgeată.

    Verifică-te

    Împiedică acest lucru corespondența să fie funcție?
    Deci corespondența este o funcție. Imaginea ei este Im(f)={1,3}Im(f) = \{1, 3\}, mai mică decât codomeniul {1,2,3}\{1, 2, 3\}.
Răspuns
Da, este funcție: fiecare element al domeniului {1,2}\{1, 2\} are o singură imagine (f(1)=1f(1) = 1, f(2)=3f(2) = 3). Faptul că 22 din codomeniu nu este imagine nu contează.

b)f(1)=2f(1) = 2, f(1)=3f(1) = 3, f(2)=1f(2) = 1

Câte imagini are elementul 11 al domeniului?

  1. 1. Desenăm corespondența

    {1,2}\{1, 2\}
    {1,2,3}\{1, 2, 3\}
    11
    22
    11
    22
    33

    Câte o săgeată pentru fiecare egalitate din enunț.

    Verifică-te

    Ce condiție din definiția funcției nu este îndeplinită?

  2. 2. Concluzia

    Ar trebui să avem în același timp f(1)=2f(1) = 2 și f(1)=3f(1) = 3, deci 2=32 = 3, ceea ce e fals. Unicitatea imaginii nu este respectată.

    Corespondența nu reprezintă o funcție. E suficient un singur element cu două imagini.

Răspuns
Nu: elementului 11 i se asociază două valori, 22 și 33, deci unicitatea imaginii nu este respectată.