MateClar
← Capitol

Manual · pagina 62

Exercițiul 30 · Imaginile unor mulțimi printr-o funcție pe ramuri

Se consideră f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R,

f(x)={x+2,x<−1−2x+3,x≥−1f(x) = \begin{cases} x + 2, & x < -1 \\ -2x + 3, & x \ge -1 \end{cases}

Determină imaginile mulțimilor prin funcția ff:

a) {−2,3}\{-2, 3\}; b) [2,4)[2, 4); c) (−3,5)(-3, 5); d) (−∞,−2](-\infty, -2]; e) (−5,0)(-5, 0); f) R\mathbb R.

a)f({−2,3})f(\{-2, 3\})

Mulțimea are doar două elemente: calculează f(−2)f(-2) și f(3)f(3). Pentru fiecare, alege întâi ramura după semnul de comparație cu −1-1.

  1. 1. Imaginea unei mulțimi; f(−2)f(-2)

    Pentru o mulțime finită calculăm valoarea în fiecare element. La o funcție pe ramuri, întâi alegem formula: x+2x + 2 dacă x<−1x < -1, −2x+3-2x + 3 dacă x≥−1x \ge -1.

    Verifică-te

    Cât este f(−2)f(-2)?

  2. 2. f(3)f(3)

    Verifică-te

    Cât este f(3)f(3)?
    Deci f({−2,3})={f(−2),f(3)}f(\{-2, 3\}) = \{f(-2), f(3)\}, o mulțime cu două elemente.
Răspuns
f({−2,3})={0,−3}f(\{-2, 3\}) = \{0, -3\}.

b)f([2,4))f([2, 4))

Pe ce ramură se află tot intervalul [2,4)[2, 4)? Apoi: yy este în imagine dacă −2x+3=y-2x + 3 = y are o soluție în [2,4)[2, 4).

  1. 1. O singură ramură

    Toate numerele din [2,4)[2, 4) sunt ≥−1\ge -1, deci pe acest interval f(x)=−2x+3f(x) = -2x + 3.

    Ca în exercițiul rezolvat 4 de la p. 60: y∈f([2,4))y \in f([2, 4)) exact când −2x+3=y-2x + 3 = y are o soluție în [2,4)[2, 4). Soluția este x=3−y2x = \frac{3 - y}2, deci cerem:

    2≤3−y2<42 \le \dfrac{3 - y}2 < 4

  2. 2. Rezolvăm dubla inegalitate

    Înmulțim cu 22, apoi scădem 33:
    4≤3−y<81≤−y<5\begin{aligned} 4 &\le 3 - y < 8 \\ 1 &\le -y < 5 \end{aligned}

    Verifică-te

    Ce interval obții pentru yy?

  3. 3. Pe grafic

    Funcția scade pe [2,4)[2, 4), așa că intervalul se „întoarce”: f(2)=−1f(2) = -1 este cea mai mare valoare, iar spre x=4x = 4 valorile se apropie de −5-5, fără să-l atingă.
    −6−5−4−3−2−1123456−8−7−6−5−4−3−2−1123456Oxy
    x+2x + 2
    −2x+3-2x + 3

    Intervalul [2,4)[2, 4) de pe OxOx este dus de grafic în (−5,−1](-5, -1] pe OyOy.

Răspuns
f([2,4))=(−5,−1]f([2, 4)) = (-5, -1].

c)f((−3,5))f((-3, 5))

Intervalul (−3,5)(-3, 5) conține punctul −1-1, unde se schimbă formula. Împarte-l în două bucăți, una pe fiecare ramură, și reunește imaginile.

  1. 1. Împărțim intervalul după ramuri

    Punctul de schimbare a formulei, −1-1, este în (−3,5)(-3, 5). Ca în exercițiul rezolvat 3 de la p. 60, scriem intervalul ca reuniune de bucăți, fiecare pe o singură ramură (o proprietate demonstrată la p. 59–60, exercițiul rezolvat 2):
    f((−3,5))=f((−3,−1))∪f([−1,5))\begin{aligned} f((-3, 5)) &= f((-3, -1)) \\ &\quad \cup f([-1, 5)) \end{aligned}

  2. 2. Prima bucată, (−3,−1)(-3, -1)

    Aici f(x)=x+2f(x) = x + 2. Soluția lui x+2=yx + 2 = y este x=y−2x = y - 2, iar condiția −3<y−2<−1-3 < y - 2 < -1 dă, adunând 22:
    f((−3,−1))=(−1,1)f((-3, -1)) = (-1, 1)
    Capătul 11 lipsește: el s-ar obține în x=−1x = -1, dar acolo funcția folosește cealaltă formulă.

  3. 3. A doua bucată, [−1,5)[-1, 5), și reuniunea

    Aici f(x)=−2x+3f(x) = -2x + 3. Cerem ca x=3−y2x = \frac{3 - y}2 să fie în [−1,5)[-1, 5):
    −1≤3−y2<5−2≤3−y<10−5≤−y<7\begin{aligned} -1 &\le \frac{3 - y}2 < 5 \\ -2 &\le 3 - y < 10 \\ -5 &\le -y < 7 \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este f([−1,5))f([-1, 5))?
    Reunim: (−1,1)(-1, 1) este cuprins în (−7,5](-7, 5], deci f((−3,5))=(−7,5]f((-3, 5)) = (-7, 5]. Valorile dintre −1-1 și 11 apar chiar de două ori, de exemplu 0=f(−2)=f(1,5)0 = f(-2) = f(1{,}5).
    −6−5−4−3−2−1123456−8−7−6−5−4−3−2−1123456Oxy
    x+2x + 2
    −2x+3-2x + 3

    Pe (−3,5)(-3, 5) graficul urcă până la (−1,5)(-1, 5) și coboară aproape până la −7-7.

Răspuns
f((−3,5))=(−7,5]f((-3, 5)) = (-7, 5].

d)f((−∞,−2])f((-\infty, -2])

Toate numerele din (−∞,−2](-\infty, -2] sunt mai mici decât −1-1: e nevoie doar de prima ramură. Ce valori ia x+2x + 2 când x≤−2x \le -2?

  1. 1. O singură ramură

    Orice x≤−2x \le -2 verifică x<−1x < -1, deci pe tot intervalul f(x)=x+2f(x) = x + 2. Un număr yy este în imagine dacă x=y−2x = y - 2 este în (−∞,−2](-\infty, -2], adică y−2≤−2y - 2 \le -2.

    Verifică-te

    Ce mulțime obții pentru yy?

  2. 2. Pe grafic

    Pe (−∞,−2](-\infty, -2] graficul este o semidreaptă care urcă până în punctul (−2,0)(-2, 0), inclus. Spre stânga coboară oricât de mult.
    −6−5−4−3−2−1123456−8−7−6−5−4−3−2−1123456Oxy
    x+2x + 2
    −2x+3-2x + 3
    (−2,0)(-2, 0)

    Intervalul (−∞,−2](-\infty, -2] de pe OxOx este dus în (−∞,0](-\infty, 0] pe OyOy.

Răspuns
f((−∞,−2])=(−∞,0]f((-\infty, -2]) = (-\infty, 0].

e)f((−5,0))f((-5, 0))

Împarte (−5,0)(-5, 0) în (−5,−1)(-5, -1) și [−1,0)[-1, 0). Atenție la capete: care sunt incluse și care nu?

  1. 1. Prima bucată, (−5,−1)(-5, -1)

    Intervalul conține punctul −1-1, deci îl împărțim ca la c):
    f((−5,0))=f((−5,−1))∪f([−1,0))\begin{aligned} f((-5, 0)) &= f((-5, -1)) \\ &\quad \cup f([-1, 0)) \end{aligned}
    Pe (−5,−1)(-5, -1), f(x)=x+2f(x) = x + 2, iar x=y−2x = y - 2 trebuie să fie în (−5,−1)(-5, -1).

    Verifică-te

    Cât este f((−5,−1))f((-5, -1))?

  2. 2. A doua bucată, [−1,0)[-1, 0)

    Aici f(x)=−2x+3f(x) = -2x + 3, iar x=3−y2x = \frac{3 - y}2 trebuie să fie în [−1,0)[-1, 0):
    −1≤3−y2<0−2≤3−y<0−5≤−y<−3\begin{aligned} -1 &\le \frac{3 - y}2 < 0 \\ -2 &\le 3 - y < 0 \\ -5 &\le -y < -3 \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este f([−1,0))f([-1, 0))?

  3. 3. Reuniunea și graficul

    Cele două bucăți nu se ating: între 11 și 33 funcția nu ia nicio valoare pe (−5,0)(-5, 0). Graficul „sare” în x=−1x = -1 de la aproape 11 la 55.
    f((−5,0))=(−3,1)∪(3,5]f((-5, 0)) = (-3, 1) \cup (3, 5]
    −6−5−4−3−2−1123456−8−7−6−5−4−3−2−1123456Oxy
    −2x+3-2x + 3

    Pe OyOy apar două bucăți: (−3,1)(-3, 1) de la prima ramură și (3,5](3, 5] de la a doua.

Răspuns
f((−5,0))=(−3,1)∪(3,5]f((-5, 0)) = (-3, 1) \cup (3, 5].

f)f(R)f(\mathbb R)

f(R)f(\mathbb R) este imaginea întregii funcții. Află imaginea fiecărei ramuri pe intervalul ei, apoi reunește-le.

  1. 1. Imaginea fiecărei ramuri

    f(R)=f((−∞,−1))∪f([−1,∞))f(\mathbb R) = f((-\infty, -1)) \cup f([-1, \infty)), ca la Im(f)\mathrm{Im}(f) din exercițiul rezolvat 3 de la p. 60.

    Pe (−∞,−1)(-\infty, -1): x=y−2<−1x = y - 2 < -1 dă y<1y < 1, deci f((−∞,−1))=(−∞,1)f((-\infty, -1)) = (-\infty, 1).

    Pe [−1,∞)[-1, \infty): soluția x=3−y2x = \frac{3 - y}2 trebuie să verifice 3−y2≥−1\frac{3 - y}2 \ge -1, adică 3−y≥−23 - y \ge -2.

    Verifică-te

    Cât este f([−1,∞))f([-1, \infty))?
    Reunim: (−∞,1)(-\infty, 1) este cuprins în (−∞,5](-\infty, 5], deci f(R)=(−∞,5]f(\mathbb R) = (-\infty, 5]. Imaginea nu este tot R\mathbb R, deși domeniul este: de exemplu, 66 nu este valoare.

  2. 2. Pe grafic

    Punctul cel mai înalt al graficului este (−1,5)(-1, 5). Spre stânga și spre dreapta graficul coboară oricât de mult.
    −6−5−4−3−2−1123456−8−7−6−5−4−3−2−1123456Oxy
    x+2x + 2
    −2x+3-2x + 3
    (−1,5)(-1, 5)

    Proiecția graficului pe axa OyOy este (−∞,5](-\infty, 5].

Răspuns
f(R)=Im(f)=(−∞,5]f(\mathbb R) = \mathrm{Im}(f) = (-\infty, 5].