MateClar
← Capitol

Manual · pagina 62

Exercițiul 31 · Imagine, preimagine și valori pentru o funcție cu radical

Se consideră funcția f:R→Rf : \mathbb R \to \mathbb R,

f(x)={x2+1,x<0x+3,x≥0f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x < 0 \\ \sqrt{x + 3}, & x \ge 0 \end{cases}

a) Determină f([0,2))f([0, 2)) și f−1({3})f^{-1}(\{3\}).

b) Este 11 o valoare a lui ff?

c) Verifică faptul că Im(f)⊂(1,∞)\mathrm{Im}(f) \subset (1, \infty).

a)Determină f([0,2))f([0, 2)) și f−1({3})f^{-1}(\{3\}).

Pentru f([0,2))f([0, 2)): tot intervalul e pe ramura cu radical; ce valori ia x+3x + 3? Pentru preimaginea lui 33: rezolvă f(x)=3f(x) = 3 pe fiecare ramură și păstrează doar soluțiile din intervalul ramurii.

  1. 1. f([0,2))f([0, 2))

    Pe [0,2)[0, 2) avem x≥0x \ge 0, deci f(x)=x+3f(x) = \sqrt{x + 3}. Ca în exercițiul rezolvat 4 de la p. 60, y∈f([0,2))y \in f([0, 2)) exact când x+3=y\sqrt{x + 3} = y are o soluție în [0,2)[0, 2).

    Un radical este ≥0\ge 0, deci y≥0y \ge 0, și atunci ecuația înseamnă x+3=y2x + 3 = y^2, adică x=y2−3x = y^2 - 3. Cerem 0≤y2−3<20 \le y^2 - 3 < 2, adică 3≤y2<53 \le y^2 < 5.

    Verifică-te

    Ce valori y≥0y \ge 0 verifică 3≤y2<53 \le y^2 < 5?

  2. 2. f−1({3})f^{-1}(\{3\}), prima ramură

    Pentru x<0x < 0: x2+1=3x^2 + 1 = 3, adică x2=2x^2 = 2, cu soluțiile 2\sqrt2 și −2-\sqrt2.

    Verifică-te

    Care dintre ele aparțin preimaginii?

  3. 3. f−1({3})f^{-1}(\{3\}), a doua ramură

    Pentru x≥0x \ge 0: x+3=3\sqrt{x + 3} = 3 dă x+3=9x + 3 = 9, deci x=6x = 6, care este ≥0\ge 0 și convine. Verificare: f(6)=9=3f(6) = \sqrt9 = 3.
    −3−2−11234567−112345Oxy
    x+3\sqrt{x + 3}
    −2-\sqrt2
    66

    Dreapta orizontală y=3y = 3 taie graficul în două puncte, cu abscisele −2-\sqrt2 și 66.

Răspuns
f([0,2))=[3,5)f([0, 2)) = [\sqrt3, \sqrt5) și f−1({3})={−2,6}f^{-1}(\{3\}) = \{-\sqrt2, 6\}.

b)Este 11 o valoare a lui ff?

11 este valoare dacă f(x)=1f(x) = 1 are o soluție. Rezolvă pe fiecare ramură și verifică dacă soluția este în intervalul ramurii.

  1. 1. Prima ramură, x<0x < 0

    11 este o valoare a lui ff dacă există xx cu f(x)=1f(x) = 1, adică dacă 1∈Im(f)1 \in \mathrm{Im}(f) (manual, p. 56). Pe prima ramură: x2+1=1x^2 + 1 = 1.

    Verifică-te

    Are x2+1=1x^2 + 1 = 1 o soluție cu x<0x < 0?

  2. 2. A doua ramură, x≥0x \ge 0

    Pe a doua ramură: x+3=1\sqrt{x + 3} = 1, adică x+3=1x + 3 = 1.

    Verifică-te

    Convine soluția?
    Pe nicio ramură nu există xx cu f(x)=1f(x) = 1. Deci 11 nu este o valoare a lui ff.
Răspuns
Nu. Ecuația f(x)=1f(x) = 1 ar cere x=0x = 0 pe prima ramură (unde trebuie x<0x < 0) sau x=−2x = -2 pe a doua (unde trebuie x≥0x \ge 0); ambele se resping.

c)Verifică faptul că Im(f)⊂(1,∞)\mathrm{Im}(f) \subset (1, \infty).

Trebuie arătat că orice valoare a funcției este mai mare decât 11. Tratează separat x<0x < 0 și x≥0x \ge 0.

  1. 1. Ce trebuie arătat; ramura x<0x < 0

    Im(f)⊂(1,∞)\mathrm{Im}(f) \subset (1, \infty) înseamnă: f(x)>1f(x) > 1 pentru orice x∈Rx \in \mathbb R. Verificăm pe fiecare ramură.

    Verifică-te

    De ce este x2+1>1x^2 + 1 > 1 pentru orice x<0x < 0?

  2. 2. Ramura x≥0x \ge 0

    Pentru x≥0x \ge 0: x+3≥3x + 3 \ge 3, iar radicalul crește odată cu numărul de sub el (din gimnaziu).

    Verifică-te

    Care este cea mai mică valoare a lui x+3\sqrt{x + 3} pentru x≥0x \ge 0?
    Deci și pe a doua ramură f(x)≥3>1f(x) \ge \sqrt3 > 1. Pe ambele ramuri f(x)>1f(x) > 1: Im(f)⊂(1,∞)\mathrm{Im}(f) \subset (1, \infty).

  3. 3. Pe grafic, și ceva în plus

    Graficul stă în întregime deasupra dreptei y=1y = 1; o atinge doar „în cercul gol” din (0,1)(0, 1), care nu face parte din grafic. De fapt, imaginea este chiar (1,∞)(1, \infty): orice y>1y > 1 se obține pe prima ramură, din x=−y−1<0x = -\sqrt{y - 1} < 0.
    −3−2−11234567−112345Oxy
    x2+1x^2 + 1
    x+3\sqrt{x + 3}

    Toate valorile sunt deasupra dreptei punctate y=1y = 1.

Răspuns
Pentru x<0x < 0, f(x)=x2+1>1f(x) = x^2 + 1 > 1 (pentru că x2>0x^2 > 0); pentru x≥0x \ge 0, f(x)=x+3≥3>1f(x) = \sqrt{x + 3} \ge \sqrt3 > 1. Deci Im(f)⊂(1,∞)\mathrm{Im}(f) \subset (1, \infty) (de fapt, Im(f)=(1,∞)\mathrm{Im}(f) = (1, \infty)).