Manual · pagina 62

Exercițiul 32 · Valorile unei funcții „în trepte”

Se consideră funcția $f : \mathbb R \to \mathbb R$ ,

$f(x) = \begin{cases} -1, & x < -1 \\[2pt] -\frac1n, & x \in \left[-\frac1n, -\frac1{n+1}\right) \\[2pt] 0, & x = 0 \\[2pt] \frac1n, & x \in \left(\frac1{n+1}, \frac1n\right] \\[2pt] 1, & x > 1 \end{cases}$

unde $n \in \mathbb N^*$ .

Determină valorile funcției în punctele: $2$ , $3$ , $-4$ , $1$ , $-1$ , $\dfrac12$ , $-\dfrac13$ , $\dfrac23$ , $\dfrac25$ , $-\dfrac27$ , $\sqrt2$ , $\sqrt3 - 2$ .

Funcția $f : \mathbb R \to \mathbb R$ este $-1$ pentru $x < -1$ , $-\frac1n$ pentru $x \in \left[-\frac1n, -\frac1{n+1}\right)$ , $0$ pentru $x = 0$ , $\frac1n$ pentru $x \in \left(\frac1{n+1}, \frac1n\right]$ și $1$ pentru $x > 1$ ( $n \in \mathbb N^*$ ). Determină valorile funcției în $2$ , $3$ , $-4$ , $1$ , $-1$ , $\frac12$ , $-\frac13$ , $\frac23$ , $\frac25$ , $-\frac27$ , $\sqrt2$ , $\sqrt3 - 2$ .

Pentru fiecare punct, caută ramura: în afara lui

[-1, 1]

e simplu; înăuntru, caută

n

astfel încât punctul să fie între

\frac1{n+1}

și

\frac1n

. Atenție la capetele incluse (paranteza pătrată).

1. Cum arată funcția
Pentru fiecare $n = 1, 2, 3, \ldots$ ramura a patra dă câte un interval, din ce în ce mai mic și mai aproape de $0$ :
$n = 1$ : pe $\left(\frac12, 1\right]$ , $f = 1$ ; $n = 2$ : pe $\left(\frac13, \frac12\right]$ , $f = \frac12$ ; $n = 3$ : pe $\left(\frac14, \frac13\right]$ , $f = \frac13$ ; și tot așa.
Pentru $x < 0$ e la fel, cu semnul minus, dar capătul inclus (paranteza pătrată) este cel din stânga: $\left[-\frac1n, -\frac1{n+1}\right)$ , cu valoarea $-\frac1n$ .
2. Punctele $2$ , $3$ , $-4$ , $1$ , $-1$
$2 > 1$ și $3 > 1$ , deci $f(2) = f(3) = 1$ . $-4 < -1$ , deci $f(-4) = -1$ . Punctul $1$ este capătul inclus al treptei $\left(\frac12, 1\right]$ , deci $f(1) = 1$ .
Verifică-te
Cât este $f(-1)$ ?
3. Fracțiile
Pentru $0 < x \le 1$ , condiția treptei se poate întoarce (inversând numere pozitive, inegalitățile își schimbă sensul):
$\begin{aligned} &\frac1{n+1} < x \le \frac1n \\ &\iff n \le \frac1x < n + 1 \end{aligned}$
Deci $n$ este partea întreagă a lui $\frac1x$ (din gimnaziu). Pentru $x < 0$ faci la fel cu $\lvert x \rvert$ și pui semnul minus.
$\frac12$ : $\frac1x = 2$ , deci $n = 2$ și $f\left(\frac12\right) = \frac12$ (capătul drept, inclus). $-\frac13$ : $n = 3$ , deci $f\left(-\frac13\right) = -\frac13$ (capătul stâng, inclus). $\frac23$ : $\frac1x = 1{,}5$ , deci $n = 1$ și $f\left(\frac23\right) = 1$ .
Verifică-te
Cât este $f\left(\dfrac25\right)$ ?
Verifică-te
Cât este $f\left(-\dfrac27\right)$ ?

4. Radicalii, $\sqrt2$ și $\sqrt3 - 2$

$\sqrt2 > 1$ (pentru că $2 > 1$ ), deci $f(\sqrt2) = 1$ .

$\sqrt3 - 2$ este negativ, cu $\sqrt3 \approx 1{,}73$ , deci $\sqrt3 - 2 \approx -0{,}27$ . Ca să fim siguri de treaptă fără calculator, comparăm cu $-\frac13$ și $-\frac14$ : adunăm $2$ , apoi ridicăm la pătrat (numere pozitive).

\begin{aligned} -\tfrac13 \le \sqrt3 - 2 &< -\tfrac14 \\ \iff \tfrac53 \le \sqrt3 &< \tfrac74 \\ \iff \tfrac{25}9 \le 3 &< \tfrac{49}{16} \end{aligned}

Ultima este adevărată:

\frac{25}9 \approx 2{,}78

și

\frac{49}{16} \approx 3{,}06

Verifică-te

Cât este

f(\sqrt3 - 2)

$x$	$f(x)$
$2$ , $3$ , $1$ , $\frac23$ , $\sqrt2$	$1$
$-4$ , $-1$	$-1$
$\frac12$ , $\frac25$	$\frac12$
$-\frac13$ , $-\frac27$ , $\sqrt3 - 2$	$-\frac13$

Pe grafic: pe tot intervalul

\left(\frac12, \infty\right)

funcția este

1

(ramura

x > 1

și treapta

n = 1

se continuă una pe alta), iar pe

\left(-\infty, -\frac12\right)

este

-1

Trepte pentru $n = 1, 2, 3$ ; spre $0$ urmează altele, tot mai mici. Pentru $x > \frac12$ valoarea este $1$ , pentru $x < -\frac12$ este $-1$ .

Răspuns

$f(2) = f(3) = f(1) = 1$ , $f\left(\frac23\right) = f(\sqrt2) = 1$ ;

$f(-4) = f(-1) = -1$ ;

$f\left(\frac12\right) = f\left(\frac25\right) = \frac12$ ;

$f\left(-\frac13\right) = f\left(-\frac27\right) = -\frac13$ , $f(\sqrt3 - 2) = -\frac13$ .

Exercițiul 32 · Valorile unei funcții „în trepte”

1. Cum arată funcția ✓

2. Punctele 222, 333, −4-4−4, 111, −1-1−1 ✓

3. Fracțiile ✓

4. Radicalii, 2\sqrt22​ și 3−2\sqrt3 - 23​−2 ✓

1. Cum arată funcția

2. Punctele $2$ , $3$ , $-4$ , $1$ , $-1$

3. Fracțiile

4. Radicalii, $\sqrt2$ și $\sqrt3 - 2$