MateClar
← Capitol

Manual · pagina 60

Exercițiul 4 · Același „x/3”, alt codomeniu

(Activitate în pereche) Se consideră mulțimea A={2,4,6,8}A = \{2, 4, 6, 8\} și corespondența x→x3x \to \dfrac x3. Determinați toate submulțimile B⊂AB \subset A astfel încât corespondența să corespundă:

a) unei funcții f:B→Zf: B \to \mathbb Z;

b) unei funcții f:B→Qf: B \to \mathbb Q.

Comparați răspunsurile la nivelul clasei.

a)O funcție f:B→Zf: B \to \mathbb Z.

Ca x→x3x \to \frac x3 să fie funcție cu valori în Z\mathbb Z, imaginea x3\frac x3 a fiecărui element din BB trebuie să fie număr întreg.

  1. 1. Ce condiție trebuie să îndeplinească B

    Pentru fiecare xx, numărul x3\frac x3 este unic. Problema este alta: dacă pentru un xx din BB numărul x3\frac x3 nu e întreg, atunci xx nu are nicio imagine în Z\mathbb Z, iar corespondența nu e funcție.

    Deci BB poate conține doar elemente x∈Ax \in A cu x3∈Z\frac x3 \in \mathbb Z, adică xx divizibil cu 33.

    Verifică-te

    Care elemente ale lui A={2,4,6,8}A = \{2, 4, 6, 8\} au imaginea x3\frac x3 număr întreg?

  2. 2. Submulțimile B

    xx22446688
    x3\frac x323\frac2343\frac432283\frac83
    ∈Z\in \mathbb Z?nunudanu
    BB nu poate conține 22, 44 sau 88. Ca de obicei la clasă, domeniul unei funcții se ia nevid, deci BB trebuie să conțină 66. Singura posibilitate:
    B={6},f(6)=2B = \{6\}, \quad f(6) = 2
Răspuns
B={6}B = \{6\} (singura submulțime nevidă a lui AA pe care x3\frac x3 ia doar valori întregi; f(6)=2f(6) = 2).

b)O funcție f:B→Qf: B \to \mathbb Q. Comparați răspunsurile.

Ce fel de număr este x3\frac x3 când xx este natural? Trebuie eliminat vreun element din AA?

  1. 1. Condiția pentru codomeniul Q

    Ca la a), fiecare element x∈Bx \in B trebuie să aibă imaginea x3\frac x3 în codomeniu, de data aceasta în Q\mathbb Q, mulțimea numerelor raționale (fracții cu numărător întreg și numitor întreg nenul).

    Verifică-te

    Pentru care elemente ale lui A={2,4,6,8}A = \{2, 4, 6, 8\} este x3∈Q\frac x3 \in \mathbb Q?

  2. 2. Toate submulțimile

    Niciun element nu trebuie eliminat, deci orice submulțime nevidă B⊂AB \subset A este bună. Le putem număra: pentru fiecare dintre cele 44 elemente alegem dacă este sau nu în BB, iar BB trebuie să fie nevidă.

    Verifică-te

    Câte submulțimi BB nevide are AA?

  3. 3. Comparăm răspunsurile

    CodomeniuSubmulțimile BB bune
    Z\mathbb Zdoar {6}\{6\}
    Q\mathbb Qtoate cele 1515 submulțimi nevide
    Legea este aceeași, x→x3x \to \frac x3. Diferă doar codomeniul: Q\mathbb Q este mai mare decât Z\mathbb Z, deci „încape” orice imagine, iar domeniul poate fi oricât de mare în AA.
Răspuns
BB poate fi orice submulțime nevidă a lui AA (1515 submulțimi), pentru că x3∈Q\frac x3 \in \mathbb Q pentru orice x∈Ax \in A. Pentru Z\mathbb Z era bună doar B={6}B = \{6\}.