MateClar
← Capitol

Manual · pagina 61

Exercițiul 8 · Când sunt egale două funcții

Determină a∈Ra \in \mathbb R astfel încât funcțiile f,g:R→Rf, g: \mathbb R \to \mathbb R, f(x)=(a−1)x2f(x) = (a - 1)x^2 și g(x)=0g(x) = 0 să fie egale. Explică de ce nicio altă lege de corespondență aleasă pentru funcția gg nu mai poate îndeplini condiția de egalitate a funcțiilor, oricare ar fi a∈Ra \in \mathbb R.

Determină aa pentru care f(x)=(a−1)x2f(x) = (a - 1)x^2 și g(x)=0g(x) = 0 sunt egale. De ce nu merge altă lege pentru gg?

Funcții egale înseamnă f(x)=g(x)f(x) = g(x) pentru orice xx real. Alege un xx potrivit, care îți dă o ecuație în aa.

  1. 1. Ce înseamnă funcții egale

    Domeniul și codomeniul sunt deja aceleași, R\mathbb R. Rămâne a treia condiție:
    (a−1)x2=0,pentru orice x∈R\begin{gathered} (a - 1)x^2 = 0, \\ \text{pentru orice } x \in \mathbb R \end{gathered}

  2. 2. Aflăm pe a

    Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru toate numerele xx, deci în particular pentru un xx ales de noi. Alegem un xx pentru care x2x^2 nu este 00, de exemplu x=1x = 1.

    Verifică-te

    Ce obții din egalitate pentru x=1x = 1?
    Verificare: pentru a=1a = 1, f(x)=0⋅x2=0=g(x)f(x) = 0 \cdot x^2 = 0 = g(x) pentru orice xx. Deci f=gf = g exact când a=1a = 1.

  3. 3. De ce altă lege pentru g nu merge

    Oricare ar fi aa, funcția ff are două proprietăți care nu depind de aa:
    f(0)=(a−1)⋅0=0f(−x)=(a−1)(−x)2=(a−1)x2=f(x)\begin{aligned} f(0) &= (a - 1) \cdot 0 = 0 \\[4pt] f(-x) &= (a - 1)(-x)^2 \\ &= (a - 1)x^2 = f(x) \end{aligned}
    O lege pentru gg care încalcă una dintre ele nu poate fi egală cu ff în toate punctele, oricum am alege aa.

    Verifică-te

    Există aa pentru care ff este egală cu g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1?
    Dacă f=gf = g pentru un anumit aa, atunci g(1)=a−1g(1) = a - 1, deci g(x)=(a−1)x2=g(1)⋅x2g(x) = (a - 1)x^2 = g(1) \cdot x^2 pentru orice xx. Așadar o lege gg poate fi egală cu ff doar dacă este de forma c⋅x2c \cdot x^2 (atunci a=c+1a = c + 1). Orice altă lege nu merge, oricare ar fi aa: x2+1x^2 + 1 (g(0)≠0g(0) \ne 0), xx (g(−1)≠g(1)g(-1) \ne g(1)), dar și x4x^4 (g(2)=16≠4=4g(1)g(2) = 16 \ne 4 = 4g(1)). Pentru legea din enunț, g(x)=0g(x) = 0, avem c=0c = 0, deci a=1a = 1.
Răspuns
a=1a = 1. Egalitatea (a−1)x2=0(a - 1)x^2 = 0 pentru orice xx (de exemplu pentru x=1x = 1) cere a−1=0a - 1 = 0. ff poate fi egală cu o funcție gg doar dacă g(x)=c⋅x2g(x) = c \cdot x^2 (cu a=c+1a = c + 1); orice altă lege, de exemplu x2+1x^2 + 1, xx sau x4x^4, nu poate fi egală cu ff, oricare ar fi aa.