Manual · pagina 61

Exercițiul 9 · Preimaginea unei înălțimi

Studiezi un model matematic simplu pentru un traseu de „hoverboard”. Înălțimea la care te afli (în metri), descrisă de

f(x)

, este dată de legea

f(x) = 2x - 3

, unde

x \in \mathbb R

este timpul în secunde. Determină preimaginea înălțimii de

7

metri.

Determină preimaginea înălțimii de $7$ metri, $f^{-1}(\{7\})$ , pentru $f(x) = 2x - 3$ .

Preimaginea lui

7

conține momentele

x

la care înălțimea este

7

. Scrie ecuația

f(x) = 7

1. Ce este preimaginea
Preimaginea (manual, p. 58)
Preimaginea elementului $y$ prin $f$ este mulțimea elementelor $x$ din domeniu cu $f(x) = y$ : $f^{-1}(\{y\}) = \{x \in A \mid f(x) = y\}$ . Ea poate fi vidă sau poate avea unul sau mai multe elemente.
Aici nu ni se dă momentul și nu cerem înălțimea. Invers: știm înălțimea, $7$ m, și căutăm momentele $x$ la care ea este atinsă. Deci rezolvăm ecuația:
$2x - 3 = 7$
2. Rezolvăm ecuația
Mutăm $-3$ în membrul drept (adunăm $3$ ), apoi împărțim la $2$ .
Verifică-te
Ce soluție are ecuația $2x - 3 = 7$ ?
3. Pe grafic
Dreapta $y = 7$ taie graficul într-un singur punct; abscisa lui este preimaginea.
Ecuația are o singură soluție, deci preimaginea are un singur element. Interpretare: la $5$ secunde te afli la $7$ metri înălțime.

Răspuns

f^{-1}(\{7\}) = \{5\}

: înălțimea de

7

m este atinsă la momentul

x = 5

secunde.