Manual · pagina 68

Exercițiul 11 · Ecuația $f(x) = 2$ , pe două căi

(*Activitate în pereche*) Rezolvați, unul algebric și celălalt prin interpretare geometrică, ecuația

f(x) = 2

, în cazul în care

f : \mathbb R \to \mathbb R

f(x) = 3 - x

. Comparați rezultatele obținute.

Ecuația $3 - x = 2$ , algebric și geometric.

Algebric: o ecuație de gradul I. Geometric: desenează graficul lui

f

și dreapta orizontală

y = 2

, apoi uită-te unde se întâlnesc.

1. Calea algebrică
Ecuația $f(x) = 2$ înseamnă $3 - x = 2$ , o ecuație de gradul I (din gimnaziu): izolezi $x$ .
Verifică-te
Ce soluție are ecuația $3 - x = 2$ ?
2. Calea geometrică, graficul lui $f$
Interpretarea geometrică a ecuației $f(x) = m$ (manual, p. 64)
Soluțiile ecuației $f(x) = m$ sunt abscisele punctelor în care graficul lui $f$ intersectează dreapta orizontală $y = m$ . Numărul soluțiilor este numărul punctelor de intersecție.
Graficul lui $f(x) = 3 - x$ este o dreaptă. Pentru o dreaptă ajung două puncte, iar cele mai comode sunt intersecțiile cu axele (manual, p. 63): $(0, f(0))$ și punctul în care $f(x) = 0$ .
Verifică-te
Prin ce puncte trece graficul lui $f$ ?
3. Calea geometrică, dreapta $y = 2$
Desenezi dreapta prin $(0, 3)$ și $(3, 0)$ și, în același reper, dreapta orizontală $y = 2$ . Ele se întâlnesc într-un singur punct, $P$ . Din $P$ cobori pe verticală până la $Ox$ : abscisa lui este $1$ .
Graficul lui $f$ taie dreapta $y = 2$ în $P(1, 2)$ ; soluția ecuației este abscisa lui $P$ .
4. Comparăm rezultatele
Ambele căi dau $x = 1$ , și așa trebuie să fie: $P(1, 2)$ este pe grafic exact pentru că $f(1) = 2$ .
Fiecare cale are avantajul ei. Calea algebrică dă valoarea exactă, chiar și când soluția nu cade pe un nod al caroiajului. Desenul arată dintr-o privire câte soluții există: aici dreapta înclinată taie dreapta orizontală o singură dată.
Verifică-te
Câte soluții are ecuația $3 - x = m$ , pentru un număr real $m$ oarecare?

Răspuns

Ambele metode dau aceeași soluție,

x = 1

: algebric din

3 - x = 2

, geometric ca abscisa punctului

P(1, 2)

în care graficul lui

f

taie dreapta

y = 2

Exercițiul 11 · Ecuația f(x)=2f(x) = 2f(x)=2, pe două căi

Ecuația 3−x=23 - x = 23−x=2, algebric și geometric.

1. Calea algebrică ✓

2. Calea geometrică, graficul lui fff ✓

3. Calea geometrică, dreapta y=2y = 2y=2 ✓

4. Comparăm rezultatele ✓

Exercițiul 11 · Ecuația $f(x) = 2$ , pe două căi

Ecuația $3 - x = 2$ , algebric și geometric.

1. Calea algebrică

2. Calea geometrică, graficul lui $f$

3. Calea geometrică, dreapta $y = 2$

4. Comparăm rezultatele