Manual · pagina 68

Exercițiul 12 · Triunghiul format cu axele

Calculează aria triunghiului determinat de axele de coordonate și graficul funcției

f : \mathbb R \to \mathbb R

f(x) = 2x + 4

Aria triunghiului format de axe și graficul lui $f(x) = 2x + 4$ .

Vârfurile triunghiului sunt originea și punctele în care graficul taie cele două axe. Triunghiul are un unghi drept în origine.

1. Care este triunghiul
Graficul lui $f$ este o dreaptă. Ea taie axa $Ox$ într-un punct $A$ și axa $Oy$ într-un punct $B$ . Cele două axe se întâlnesc în originea $O$ . Triunghiul este $OAB$ , deci trebuie să afli întâi $A$ și $B$ .
Intersecțiile cu axele (manual, p. 63)
Cu $Oy$ : punctul $(0, f(0))$ , dacă $0$ este în domeniu.
Cu $Ox$ : punctele $(x_0, 0)$ , unde $x_0$ este soluție a ecuației $f(x) = 0$ .
Pentru $B$ : $f(0) = 2 \cdot 0 + 4 = 4$ , deci $B(0, 4)$ . Pentru $A$ rezolvi $2x + 4 = 0$ .
Verifică-te
În ce punct taie graficul axa $Ox$ ?
2. Lungimile catetelor
Triunghiul $OAB$ are unghiul drept în $O$ , între cele două axe.
Axele sunt perpendiculare, deci $OAB$ este dreptunghic în $O$ , cu catetele $OA$ (pe $Ox$ ) și $OB$ (pe $Oy$ ). O lungime este o distanță, deci pozitivă: pentru un punct de pe o axă, ea este valoarea absolută a coordonatei lui nenule.
Verifică-te
Cât sunt catetele $OA$ și $OB$ ?
3. Aria
Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor (din gimnaziu): $\mathcal A = \dfrac{OA \cdot OB}{2}$ .
Verifică-te
Cât este aria triunghiului $OAB$ ?

Răspuns

Graficul taie axele în

A(-2, 0)

și

B(0, 4)

; triunghiul

OAB

este dreptunghic în

O

, cu catetele

2

și

4

, deci aria este

\mathcal A = \dfrac{2 \cdot 4}{2} = 4