Manual · pagina 68

Exercițiul 14 · Contorul inteligent

Un contor inteligent monitorizează consumul de electricitate al unui calculator. La începutul lunii, contorul înregistra $40$ kWh (kilowatt-oră). Știind că, în medie, consumul zilnic al calculatorului este de $5$ kWh, considerăm funcția $f$ care redă indicația totală a contorului (în kWh) după $x$ zile.

a) Determină expresia legii $f(x)$ .

b) Stabilește după câte zile contorul va indica $180$ kWh și interpretează geometric soluția obținută.

c) Determină imaginea funcției $f$ pentru o lună întreagă ( $30$ de zile).

a)Determină expresia legii $f(x)$ .

Scrie indicația după

0

1

2

3

zile. Ce se repetă de la o zi la alta?

1. Câteva zile, pe rând
Contorul pornește de la $40$ și, în fiecare zi, mai adaugă $5$ kWh. Scriem indicația după primele zile:
zile trecute, $x$ indicația, $f(x)$ (kWh)
$0$ $40$
$1$ $40 + 5 = 45$
$2$ $40 + 5 + 5 = 50$
$3$ $40 + 3 \cdot 5 = 55$
Verifică-te
Cât indică contorul după $10$ zile?
2. Legea funcției
După $x$ zile s-au adăugat $5 \cdot x$ kWh peste cei $40$ de la început:
$f(x) = 5x + 40.$
Numărul de zile nu este negativ, deci domeniul este $x \ge 0$ : $f : [0, \infty) \to \mathbb R$ . Este același tip de model ca economiile elevului din manual (p. 65), $f(x) = -10x + 100$ , doar că aici mărimea crește în loc să scadă.
Verifică-te
Ce reprezintă numărul $40$ pe graficul lui $f$ ?

zile trecute, $x$	indicația, $f(x)$ (kWh)
$0$	$40$
$1$	$40 + 5 = 45$
$2$	$40 + 5 + 5 = 50$
$3$	$40 + 3 \cdot 5 = 55$

Răspuns

f : [0, \infty) \to \mathbb R

f(x) = 5x + 40

(kWh după

x

zile).

b)După câte zile contorul indică $180$ kWh? Interpretează geometric.

Scrie ecuația

f(x) = 180

. Pe grafic, ea corespunde unei drepte orizontale.

1. Ecuația
Se cere numărul de zile $x$ după care indicația este $180$ , adică soluția ecuației $f(x) = 180$ :
$5x + 40 = 180$
Verifică-te
Ce soluție are ecuația?
2. Interpretarea geometrică
Interpretarea geometrică a ecuației $f(x) = m$ (manual, p. 64)
Soluțiile ecuației $f(x) = m$ sunt abscisele punctelor în care graficul lui $f$ intersectează dreapta orizontală $y = m$ .
Graficul lui $f$ este bucata de dreaptă care pornește din $(0, 40)$ și urcă cu $5$ pe fiecare zi. Dreapta orizontală $y = 180$ îl taie în punctul $P(28, 180)$ : soluția $x = 28$ este abscisa lui $P$ .
Pe $Ox$ : zile; pe $Oy$ : kWh. Linia punctată orizontală este $y = 180$ ; graficul o intersectează în punctul de abscisă $28$ .
În context: după $28$ de zile contorul arată $180$ kWh. Graficul taie orizontala o singură dată, deci există un singur astfel de moment.

Răspuns

După

28

de zile. Geometric,

28

este abscisa punctului

P(28, 180)

în care graficul lui

f

intersectează dreapta orizontală

y = 180

c)Imaginea lui $f$ pentru o lună întreagă ( $30$ de zile).

Pentru o lună,

x

ia valori în

[0, 30]

. Ce valori ia atunci

f(x)

? Uită-te la bucata de grafic de deasupra acestui interval.

1. Ce se cere
Pentru o lună întreagă, numărul de zile trecute este $x \in [0, 30]$ . Imaginea cerută este mulțimea tuturor indicațiilor $f(x)$ , pentru $x \in [0, 30]$ , adică $f([0, 30])$ .
Imaginea unei submulțimi, pe grafic (manual, p. 64)
Pentru imaginea unei submulțimi $A_1$ a domeniului, iei porțiunea de grafic de deasupra lui $A_1$ (ridicând perpendiculare pe $Ox$ ), apoi o proiectezi pe axa $Oy$ . Proiecția este $f(A_1)$ .
Porțiunea de grafic este segmentul dintre punctele de abscise $0$ și $30$ . Capătul din stânga este $(0, f(0)) = (0, 40)$ .
Verifică-te
Cât este $f(30)$ , indicația la sfârșitul lunii?
2. Proiecția pe $Oy$
Porțiunea de grafic de deasupra lui $[0, 30]$ (pe $Ox$ ) se proiectează pe $Oy$ în intervalul marcat.
Segmentul urcă fără întreruperi de la înălțimea $40$ la înălțimea $190$ , deci proiecția lui pe $Oy$ este tot intervalul $[40, 190]$ , cu ambele capete incluse (zilele $0$ și $30$ fac parte din lună).
3. Confirmarea algebrică
Pornind de la $0 \le x \le 30$ , înmulțești cu $5$ și aduni $40$ (din gimnaziu, sensul inegalităților se păstrează):
$40 \le 5x + 40 \le 190.$
Deci toate indicațiile sunt în $[40, 190]$ . Invers, fiecare număr $y$ din $[40, 190]$ chiar este atins: ecuația $5x + 40 = y$ are soluția $x = \frac{y - 40}{5}$ , care este între $0$ și $30$ .
Verifică-te
În ce zi arată contorul $100$ kWh?

Răspuns

\operatorname{Im} f = f([0, 30]) = [40, 190]

: în cele

30

de zile contorul arată între

40

și

190

kWh.

Exercițiul 14 · Contorul inteligent

a)Determină expresia legii f(x)f(x)f(x).

1. Câteva zile, pe rând ✓

2. Legea funcției ✓

b)După câte zile contorul indică 180180180 kWh? Interpretează geometric.

1. Ecuația ✓

2. Interpretarea geometrică ✓

c)Imaginea lui fff pentru o lună întreagă (303030 de zile).

1. Ce se cere ✓

2. Proiecția pe OyOyOy ✓

3. Confirmarea algebrică ✓

a)Determină expresia legii $f(x)$ .

1. Câteva zile, pe rând

2. Legea funcției

b)După câte zile contorul indică $180$ kWh? Interpretează geometric.

1. Ecuația

2. Interpretarea geometrică

c)Imaginea lui $f$ pentru o lună întreagă ( $30$ de zile).

1. Ce se cere

2. Proiecția pe $Oy$

3. Confirmarea algebrică