MateClar
← Capitol

Manual · pagina 68

Exercițiul 16 · Economii pentru o pizza

Mihai vrea să cumpere o pizza care costă 5555 de lei. El deja are 1010 lei puși deoparte și plănuiește să economisească câte 55 lei în fiecare zi lucrătoare.

a) Formulează funcția ff care exprimă suma totală economisită de Mihai după xx zile lucrătoare;

b) Rezolvă ecuația f(x)=55f(x) = 55. Interpretează geometric această ecuație pentru a valida rezultatul algebric și precizează ce semnificație în context real este implicată.

c) Reprezintă grafic funcția pentru primele 1010 zile lucrătoare (x∈[0,10]x \in [0, 10]).

a)Formulează funcția ff: suma economisită după xx zile lucrătoare.

Calculează suma după 11, 22, 33 zile. Ce rămâne mereu la fel și ce se adaugă în fiecare zi?

  1. 1. Suma, zi după zi

    Mihai pornește cu 1010 lei și adaugă 55 lei în fiecare zi lucrătoare:
    zile lucrătoare, xxsuma (lei)
    001010
    1110+5=1510 + 5 = 15
    2210+2⋅5=2010 + 2 \cdot 5 = 20
    3310+3⋅5=2510 + 3 \cdot 5 = 25

    Verifică-te

    Câți lei are Mihai după 66 zile lucrătoare?

  2. 2. Funcția

    După xx zile lucrătoare Mihai a adăugat 5x5x lei la cei 1010 de la început:

    f(x)=5x+10.f(x) = 5x + 10.

    Numărul de zile pornește de la 00, deci x≥0x \ge 0. În realitate xx este un număr natural (zile întregi); ca în manual, folosim aceeași formulă pentru tot intervalul, iar zilele reale sunt valorile întregi ale lui xx.

Răspuns
f(x)=5x+10f(x) = 5x + 10 (lei), unde x≥0x \ge 0 este numărul de zile lucrătoare.

b)Rezolvă f(x)=55f(x) = 55, algebric și geometric, și spune ce înseamnă soluția.

Algebric: o ecuație de gradul I. Geometric: unde taie graficul dreapta orizontală y=55y = 55?

  1. 1. Rezolvarea algebrică

    5x+10=555x + 10 = 55

    Verifică-te

    Ce soluție are ecuația?

  2. 2. Validarea pe grafic

    Desenezi graficul lui ff (pornește din (0,10)(0, 10) și urcă cu 55 pe fiecare zi) și dreapta orizontală y=55y = 55. Punctul lor comun, PP, este deasupra lui x=9x = 9: desenul confirmă soluția algebrică.
    −11234567891051015202530354045505560Oxy
    ff
    P(9,55)P(9, 55)

    Pe OxOx: zile lucrătoare; pe OyOy: lei. Linia punctată orizontală este y=55y = 55; graficul o intersectează în punctul de abscisă 99.

    Semnificație: după 99 zile lucrătoare Mihai are exact 5555 de lei, adică prețul pizzei, și o poate cumpăra. După 88 zile ar avea doar f(8)=50f(8) = 50 de lei.
Răspuns
x=9x = 9. Geometric, 99 este abscisa punctului P(9,55)P(9, 55) în care graficul lui ff taie dreapta y=55y = 55. În context: după 99 zile lucrătoare Mihai strânge exact cei 5555 de lei pentru pizza.

c)Reprezintă grafic funcția pentru x∈[0,10]x \in [0, 10].

Graficul lui 5x+105x + 10 este o dreaptă; pe [0,10][0, 10] ajunge să știi cele două capete.

  1. 1. Capetele segmentului

    Pe un interval închis, graficul unei funcții de forma ax+bax + b este un segment de dreaptă. Ca la laptopul Nadiei din manual (p. 66), îl desenezi unind punctele de la capetele intervalului, x=0x = 0 și x=10x = 10. Primul capăt este (0,f(0))=(0,10)(0, f(0)) = (0, 10).

    Verifică-te

    Care este celălalt capăt al segmentului?

  2. 2. Graficul

    −11234567891051015202530354045505560Oxy
    ff
    (0,10)(0, 10)
    (10,60)(10, 60)

    Segmentul de la (0,10)(0, 10) la (10,60)(10, 60); punctele marchează zilele întregi.

    Segmentul are ambele capete pline, pentru că 00 și 1010 fac parte din interval. Punctele de pe el, la x=1,2,…,9x = 1, 2, \ldots, 9, sunt sumele din zilele lucrătoare: fiecare e cu 55 lei mai sus decât cel dinainte.
Răspuns
Graficul este segmentul care unește punctele (0,10)(0, 10) și (10,60)(10, 60).